强非线性振动系统同(异)宿轨道的定量分析方法研究

强非线性振动的同(异)宿分岔和同(异)宿解定量分析方法研究，对分析典型系统全局分岔、推广混沌解析预测方法应用，以及孤立波计算等问题具有重要意义。本课题拟研究建立适用于强非线性振动系统同(异)宿分岔和同(异)宿解求解问题的半解析定量方法，以此来研究克服纯摄动法仅适用于弱非线性系统的局限，克服纯数值方法依赖人工取定初值和难以获得严格满足同(异)宿条件的轨道的缺点。总体研究思路是：在申请人及合作者已提出的双曲函数方法工作基础上，进一步研究提出广义的双曲函数概念，研究基于广义双曲函数系的同(异)宿解高阶摄动理论，将已有双曲函数方法归为其特例。在此基础上探索新的摄动-增量求解技术，研究以分岔参数为增量控制参数，构建增量形式的同(异)宿分岔点判别式，研究以广义双曲函数摄动解为迭代初值，构造以数值系数和广义双曲函数表示的同(异)宿半解析解，为推进强非线性系统同(异)宿轨道相关问题的研究开辟新的途径。

本项目研究建立了适用于一大类强非线性振动系统同(异)宿分岔和同(异)宿解求解问题的定量分析方法，提出了广义双曲函数摄动法，推广了双曲函数Lindstedt-Poincaré法，发展了与时间变换相结合的摄动-增量法。科研成果总体达到了课题组预定目标，并探索性获得一些新的结论，科研成果主要形式为发表期刊论文16篇(1篇为录用待发表)，会议论文2篇，期刊在审2篇。取得的主要成果包括：.(1) 提出了描述同(异)宿解的广义双曲函数概念, 克服一般非线性系统很难获得精确派生同宿解的困难, 进而推导建立了基于广义双曲函数的适用于求解同宿解的一套摄动步骤．原已发表的双曲函数摄动方法可以分别归为该方法的在二次非线性和三次非线性情形下的特例。.(2) 进一步发展了双曲函数Lindstedt-Poincaré方法，获得了一大类同(异)宿摄动解的任意阶表达式，以及确定任意阶同宿分岔参数的表达式。研究了双曲函数表达的高阶同(异)宿摄动解表达式和分岔参数高阶项的性质，给出了同(异)宿摄动解奇异项的定义，分析指明了同(异)宿解和周期解的Lindstedt-Poincaré摄动过程的联系和不同。.(3) 提出了基于非线性时间变换的摄动-增量法的统一步骤和显式摄动解步骤。首次详细推导并指出, 已有的几种方法如基于广义谐波函数的摄动-增量法，基于椭圆函数的摄动法，以及我们提出的广义双曲函数摄动法，在本质上是基于同一种摄动步骤基于不同的非线性时间尺度，我们称之为基于非线性时间变换的同(异)宿解摄动法。我们由此给出了这类方法简洁的一般化摄动步骤，并给出基于广义双曲函数的摄动-增量法获得与广义谐波函数摄动-增量法一致的结果，验证了我们的观点。最后，我们针对这一大类方法仅能求得非线性时间尺度下的隐式解的缺点，推导提出了实现显式摄动同(异)宿摄动解的改进的摄动步骤。