微分包含问题研究及其在分布参数控制系统中的应用

In this project we shall first study some important propeties of non-Lipschitzian semigroup and deal with the existence of (periodic) solutions of nonlocal (impulsive) differential inclusions in abstract spaces. By using the method of zero perturbation, the technique of constructing regular Hausdorff measure of noncompactness and the theory of geometry of Banach spaces and fixed points, we shall discuss the problems of differential inclusions without assumptions on the compactness or equicontinuity of the semigroup and consider the above problems when nonlocal items have different topology. We shall also introduce the concept of almost non-expansive curves and want to investigate the asymptotic behaviour by utilizing the properties of almost non-expansive curves. Subsequently, related research results of differential inclusions will be applied to the distributed parameter control system. We shall discuss in detail controllability problems of infinite dimension control system described by abstract differential inclusions in Banach spaces. Finally, we shall investigate a class of optimal control problem of distributed parameter system described by nonlocal differential inclusions. For example, during the process of electric energy being converted into heat, a typical problem is to find at least one optimal control, which makes the total cost of electric energy achieve its mininum in a given performance criterion.The expected research results have a positive impact not only on the improvement and development of the theory of differential inclusions, but also on other related research fields, such as infinite dimensional dynamical system, control theory and optimization.

本项目首先研究非Lipschitzian半群的一些重要性质,并运用零点扰动与构造正则的Hausdorff非紧性测度技巧结合Banach空间几何理论和不动点理论研究抽象空间中非局部（脉冲型）微分包含(周期)解的存在性。拟讨论在半群没有紧性甚至等度连续性以及非局部项具备不同拓扑时解的存在性，并将引入殆非扩张曲线的概念，希望利用殆非扩张曲线的性质研究解的渐近行为。其次，把微分包含的相关研究结果应用到分布参数控制系统中，具体讨论由抽象空间中微分包含所描述的无穷维控制系统的可控性问题。最后，我们拟讨论由非局部微分包含描述的分布参数系统的一类最优控制问题，例如电能转换成热能过程中，在给定的性能指标集中寻找最优控制使得电能的总消耗达到最小的最优控制问题。本项目预期研究结果不仅对微分包含理论的完善和发展具有积极的意义，还将对其他相关研究领域，如无穷维动力系统、控制论和最优化等理论的研究具有十分重要的意义。

Banach空间上的算子半群与微分包含理论是非线性泛函分析中非常活跃并且具有很强应用背景的方向之一. 由于近代物理、工程技术、控制论和最优化系统中出现的许多问题都可以转化为与算子半群相关的微分包含问题，因此该领域的研究对数学物理中的非线性发展方程、控制论与最优化和工程技术等诸多领域有着重要的理论意义和实际应用前景. 本项目首先将线性算子理论的技巧与方法引入到非线性映射与非线性算子半群的研究中，得到了Banach空间中一族非Lipschitzian非自身映射的强收敛与弱收敛定理,并利用乘积拓扑网技巧，在一致凸但非Frechet可微的Banach空间中研究了一类非Lipschitzian拓扑半群的逼近问题，给出了渐近非扩张映射右可逆半群殆轨道的非线性遍历定理和收敛性定理. 运用凸幂凝聚算子技巧及其相关不动点定理研究了非局部半线性脉冲型微分包含在脉冲项紧和Lipschitz连续情形下解的存在性问题,在半群失去紧性、凸性等条件下给出了Banach空间中非局部半线性脉冲型发展方程适度解的存在性定理,并给出了(加权)分数阶双曲微分方程解的存在性和连续依赖性定理. 其次，把微分包含的相关研究结果应用到分布参数控制系统中，具体讨论了一类受控的非线性非局部脉冲型微分包含可行对的存在性，并在可行对不唯一的情形下，构造逼近函数序列，获得了一类受限Lagerange问题最优控制的存在性定理。最后利用Banach空间几何技巧进一步建立和完善了算子广义逆的扰动稳定特征，研究了Banach空间中闭线性算子逆的扰动稳定特征及研究了Hyers-Ulam稳定性, 得到了Drazin逆的一些新特征与Hyers-Ulam稳定常数的表示. 本项目研究结果不仅对微分包含理论的完善和发展具有积极的意义，还将对其他相关研究领域，如无穷维动力系统、控制论和最优化等理论的研究具有十分重要的意义.