基于有限正交几何的图的自同构群研究

In this project, we construct a class of graphs by all m-dimensional totally isotropic (or singular) subspaces of the geometry of orthogonal group over finite fields, called finite orthogonal geometry graph. We will investigate the automorphism groups of the graphs and their subconsitituents by using the theories of group, finite geometry, geometry of matrices and so on. The investigation of these problems is currently an important and interesting topic in the research areas of algebraic graph theory. The accomplishment of these problems will not only improve the theories of themselves, but also exert a positive impact on the interpenetration among related mathematics branches.

本项目以有限域上正交群的几何空间中所有 m 维全迷向(或全奇异)子空间为点集构作了一类图，称之为有限正交几何图。我们拟通过群论、有限几何、矩阵几何等相关理论知识研究它们的自同构群及其次成分的结构。对这些问题的研究是当前代数图论中的一个重要而饶有兴趣的课题，该问题得以解决不但会使其本身的理论得到不断完善，也将会对相关数学分支之间的相互渗透产生积极影响。

本项目的主要研究对象是特征为奇数以及特征为2的有限正交几何图，为简便起见也称其为(m,m-1,0)型图, 它们分别是以有限域上正交几何中的所有m维全迷向子空间或m维全奇异子空间为点集构作的图。 我们首先得到它们是顶点可迁图、弧可迁图，在此基础上给出了任意两点间的距离公式，进而得到它们的直径；其次，研究了不同特征的(m,m-1,0)型图的次成分结构，包括第一、第二次成分以及两个相邻次成分之间的点的邻接情况；最后，本项目研究了特征为奇数的有限正交几何图的自同构群形式。以上结论不但揭示了有限正交图本身的内部规律，也将会对相关数学分支之间的相互渗透产生积极影响。