Robin 型离散Schwarz波形松弛算法的收敛性分析

Schwarz waveform relaxation is a new kind of domain decomposition methods, which attracts lots of attention during the last decade. In this project, we investigate the convergence behavior of the discrete Schwarz waveform relaxation algorithm of Robin type and analyze the infulence of discretization schemes and discretization parameters on the convergence rate. The key point lies determining the optimal parameter involved in the artificial boundary conditions of Robin type at discrete level. The results of this project will further enrich the convergence theory of the Schwarz waveform relaxation algorithms. Compared to the parameter analyzed at continuous level, it is promising to further improve the convergence rate of the algorithms in practical computation by using the parameter determined at discrete level.

Schwarz 波形算法是最近十多年间发展起来的一种新型区域分解算法，是并行计算研究领域的焦点之一。本项目对 Robin 型离散 Schwarz 波形松弛算法开展收敛性研究，分析离散格式和离散步长对算法收敛速度的影响，重点关注如何在离散情形下确定 Robin 型人工边界条件中的最优参数。该研究将进一步丰富 Schwarz 波形松弛算法的收敛性理论，实践上将进一步提高 Robin 型 Schwarz 波形松弛算法在实际计算中的收敛速度。

Schwarz波形松弛(Schwarz Waveform Relaxation，以下简称SWR)算法是一类专门针对时间依赖PDE问题的新型区域分解方法，在最近十余年里得到了国内外许多学者的关注。该算法将整个空间区域分解成若干个相互重叠的子区域，然后在子区域的边界处施加适当的传输条件，使各子区域上形成适定的、可以独立求解的子方程。 传输条件是该算法的关键，不同传输条件下算法的收敛速度截然不同。Robin型传输条件是众多学者一致认可的高效传输条件。该传输条件中含有一个自由参数p，合理选择该参数可以显著提高SWR算法的收敛速度。最优参数由一个复杂的极小-极大问题确定。求解该极小-极大问题并在最优参数下分析算法的收敛性，是研究Robin型SWR算法的核心。 现有大多数文献在时空连续层面对Robin型SWR算法进行了深入系统的研究，但鲜有涉及半离散层面和全离散层面的研究。经过一年时间的研究，我们对Robin型离散SWR算法的收敛性有了较为全面的认识。所获主要结果如下：. 1. 对反应扩散方程， 我们在时空全离散层面研究了Robin型SWR算法的收敛性（时、空离散方法分别为线性θ-方法和中心差分方法）。 对其中的关键环节|，即确定传输条件中的自由参数，我们深入研究了一类新的极小-极大问题，该极小-极大问题充分考虑了时空离散格式和离散步长的影响，比时空连续情形下的极小-极大问题复杂的多。通过求解时空离散情形下的极小-极大问题，我们获得了新的最优参数，数值试验表明：新的最优参数可以进一步提高算法在实际计算中的收敛速度。. 2. 对描述无损耗传输线电路系统的一类中立型延迟PDE问题，我们在时空连续和半离散两个层面对Robin型SWR算法的收敛性进行了研究。通过求解时空连续和半离散两个层面对应的极小-极大问题，我们获得了传输条件中自由参数的两个不同选择。两个最优参数都是延迟依赖的，可以刻画延迟量对算法收敛速度的影响。理论分析和数值试验结果表明：对于较大的离散步长，半离散层面获得的最优参数比时空连续层面获得的最优参数更加高效；对较小的离散步长，情况则完全相反。. 该项目研究的科学意义在于：进一步发展了Robin型SWR算法的收敛性理论，将时空连续层面的研究拓展到离散层面，并获得了传输条件中自由参数的更合理选择。