非线性周期反应扩散系统的渐近性态研究

The research on nonlinear periodic reaction-diffusion systems is an international frontier subject of nonlinear analysis fields nowadays. This kind of systems has complex spatio-temporal structure and a variety of dynamic behaviors, and it faces a big challenge and impact due to the double existences of nonlinearity and periodicity. Basing on biological control and biological diversity of the hot issues at home and abroad, this project establishes temporal periodic models of population ecology and studies complex spatio-temporal dynamic behaviors of nonlinear temporal periodic reaction-diffusion systems, i.e., the two key problems--waves of invasion by exotic species and the formation of patterns, including the existence of traveling wave solutions, the spreading speed, the influence of the change of internal and external conditions for invasion and so on. Through the research in the project, we will present the interaction structure between populations and reveal the transmission mechanism of biological invasion to allocate resources reasonably, master control strategy and maintain the biological diversity.

非线性周期反应扩散系统的研究是当今非线性分析领域的国际前沿课题。此类系统的时空结构错综复杂，动力学性态丰富多样，并由于非线性和周期性的双重存在而面临不小的挑战和冲击。本项目基于生物控制和生物多样性等国内外的热点问题，建立种群生态学的时间周期模型，研究时间周期下的非线性反应扩散系统复杂的时空动力行为，即外来种群的入侵波和模式的形成这2个关键问题，包括行波解的存在性、渐近传播速度、内外部条件的改变对入侵的影响等等。通过本项目的研究，我们将展现种群之间相互作用的结构、揭示生物入侵的传播机制，以便合理地分配资源、掌握控制策略和保持生物的多样性。

本项目针对几类非线性的反应扩散系统，包括捕食-被捕食模型和传染病模型及其对应的常微分系统，其非平凡平衡状态的全局/线性渐近稳定性，行波解、周期驻波和周期行波解的存在性，以及它们在生态平衡和疾病传播方面的应用进行了深入的研究，意在探讨各类时滞反应扩散系统、局部与非局部系统的时空复杂性。该项目以3篇文章作为研究成果，其中已发表的论文有2篇并被SCI收录，已投稿的论文1篇。此项目的主要研究成果的特色是，在研究食饵带病的比率依赖Holling-II型功能性反应的时空非局部捕食-被捕食模型时，对于两类特定的核函数，探讨了在对共存平衡状态的扰动下分支出的3种周期解，即空间周期对称解、时空周期解（周期驻波）和周期行波解。研究结果表明，疾病的引入和时空非局部效应对丰富系统的动力学行为的重要性。