复杂数据下含非线性函数的半参数回归模型的统计推断

Semiparametric regression model with nonlinear function has the ability of the interpretability of parametric model and the flexibility of nonparametric model, in addition to, it can overcome the limitations of linear function in traditional semiparametric model. In practice, measurement error data, missing data, longitudinal data and other complex data are often encountered. In this project, we study the estimation and application for semiparametric regression model with nonlinear function under complex data. By the local bias-corrected technique for measurement error, multiple imputation method for missing response at random, introducing the working covariance matrix for longitudinal data and other techniques, we will propose the profile nonlinear least squares estimation procedure for the parameter in the nonlinear function and establish the asymptotic normality properties of the resulting estimators. We will construct empirical log-likelihood ratios for unknown parameter and nonparametric function, derive their limit distributions and obtain the confidence regions for the parameter and point-wise confidence intervals for nonparametric function. Based on the theoretical analysis, some simulation study and numerical analysis will be conducted by R software. Real examples in econometrics, biology, epidemiology and other fields will be fitted to illustrate the practicability and effectiveness of the proposed methods. The results of this study will further expand the scope of application of empirical likelihood method, enrich and develop the semiparametric modeling with new ideas and methods.

含非线性函数的半参数回归模型同时具备参数模型的可解释性和非参数模型的灵活性，还克服了线性函数在表述客观模型方面的局限性。在应用中经常遇到测量误差数据、缺失数据和纵向数据等复杂数据。本项目致力于在以上复杂数据下研究含非线性函数的半参数回归模型的估计与应用。通过对测量误差的局部纠偏，对随机缺失值的多重插补，对纵向数据增加工作协方差矩阵等技术，得到模型中未知参数的剖面最小二乘估计，建立估计量的渐近正态性；构造非线性函数中的未知参数和未知非参数函数的经验对数似然比统计量，推导其极限分布，得到未知参数的置信域和未知函数的置信带；在理论分析的基础上利用R软件进行模拟研究和数值分析；并力图采用计量经济学、生物学、流行病学等学科中的实际数据拟合，以说明所提方法的有效性和实用性。研究成果将进一步扩大经验似然方法的应用范围，丰富并发展半参数建模的新思路和新方法.

含非线性函数的半参数回归模型不仅具有参数模型的可解释性和非参数模型的灵活性，还克服了线性函数在表述客观模型方面的局限性。测量误差数据、缺失数据和纵向数据是现实中经常遇到的复杂数据。因此，在复杂数据下研究含非线性函数的半参数回归模型的统计推断具有一定的理论意义和实用价值。本项目取得的主要成果有：研究了非参数部分带测量误差的变系数部分非线性模型的估计与检验。运用局部纠偏技术，提出了未知参数的剖面非线性最小二乘估计方法，建立了估计量的渐近正态性；利用经验似然方法，构造了未知参数的局部纠偏的对数经验似然比统计量和未知系数函数的残差调整的对数经验似然比统计量，证明了其渐近卡方性质；模拟说明了在参数的置信域和函数的置信带估计方面，经验似然方法优于基于最小二乘估计的正态方法；构造了广义似然比统计量，对变系数函数是否发生变化进行了假设检验。研究了纵向数据下变系数部分非线性模型的估计。基于正交分解技术，将模型中的未知参数和未知系数函数分开来估计；为了避免工作相关矩阵中讨厌参数的估计，提出了未知参数的二次推断函数估计；同时，构造广义经验对数似然比，得到了未知参数的最大经验似然估计；证明了两个估计量的渐近正态性；模拟实验说明了本项目所提方法的有效性。研究了响应变量随机缺失的变系数部分线性测量误差模型的估计。基于局部纠偏剖面最小二乘方法，分别在完整数据集和线性插补技术下，提出了未知参数的两种估计方法；证明了未知参数估计量的渐近正态性和未知系数函数的收敛速度。模拟实验说明基于线性插补下的估计方法优于仅利用完整数据集的方法。研究成果一定程度上丰富并完善了半参数建模、参数估计中的数学理论和方法，进一步推进并发展了半参数模型的研究工作。