Kirchhoff/Cosserat弹性杆在不光滑曲面约束下的动力学问题

Kirchhoff/Cosserat弹性杆力学模型常用来研究海底光缆、DNA、绳子等细长物体, 杆的位形一般受到曲面或者其他物理介质限制。本项目以纺织工程中的纱线作为弹性杆的研究实体, 建立受不光滑曲面约束、具有周期变化边界的弹性杆动力学模型, 探讨这个非光滑动力系统的理论、数值求解和稳定性分析。针对弹性杆与约束曲面之间接触的非穿透约束和扭转摩擦, 拟采用流形投影方法加入到非光滑约束弹性杆动力系统中。以往的处理非光滑动力系统的Event-Drive算法只有在系统有绝对连续解时才有效，根据模型解的情况，设计有效快速的算法是本项目的重要内容。通过对弹性杆的动态仿真, 得到各应用领域关注的弹性杆的张力、扭转、屈曲等信息, 对纺织、生物、图像处理等具有重要的理论指导意义。

Kirchhoff杆模型首次被提出以描述纺纱过程中纱线在阻捻器表面的动力学行为。该模型在一个系统里同时考虑了纱线弹性杆的张力和扭转，可以通过解这个模型同时得到张力和捻度。我们提出了系统的非物质边界条件，并用广义α方法解这个不能用经典软件（如ANSYS或ADAMS）直接求解的初边界值问题。基于摄动分析的逼近手段用于建立经过阻捻器的纱线动力学行为模型，为这种周期动力学系统提供了一种更简单实用的模拟方法。我们提出了纱线离开阻捻器的点处的移动边界条件，并用摄动分析给出了系统方程的零阶逼近，去掉了系统方程的时间相关性。进而，这个时变系统可以用稳态方程的解来近似，而对时间的相关性完全由离开阻捻器的边界点处的移动边界条件决定。通过求解纱线动态方程的数值解所得的数值实验结果揭示了阻捻器表面摩擦力系数、阻捻器的几何设计参数以及纱线线密度对纱线张力和捻度的影响，同时得到纱线轨迹、纱线张力和阻捻器上纱线长度的变化情况。