多项式整数规划理论和算法研究

多项式整数规划是以多项式为目标函数和约束函数的离散最优化问题，是非线性整数规划中的一个基本问题，在工程控制、通信和金融投资等领域有广泛应用。多项式优化是近年来国际最优化领域的一个研究热点，锥优化特别是半定规划和二阶锥规划的发展，为多项式优化的研究提供了新的方法和工具。 本项目旨在研究多项式整数规划的基本理论和方法，对若干类重要的多项式整数规划问题建立新的松弛方法和精确算法，并进行算法实现。 我们将利用整数对角化和最优DC分解凸松弛方法，建立非凸二次整数规划的可分离松弛和对偶界；研究半代数集上低阶多项式优化的SDP松弛和SOCP松弛，利用稀疏性建立求解较大规模低阶多项式优化问题的近似算法和精确算法；研究在金融优化和通信中具有重要应用的四次多项式整数规划问题；研究 0-1多项式规划的线性化方法和SOS逼近性质。我们还将研究多项式整数规划在高价矩金融优化模型中的应用。

本项目经过三年的研究，基本实现了项目立项时的研究目标，对项目立项时的研究内容进行了重点研究。 本项目集中在以下几个研究方向：（1）多项式整数规划特别是0-1二次规划的对偶松弛理论的研究；（2）多项式和二次整数规划的SDP松弛界研究；（3）混合二次整数规划的模型重构问题；随着研究的深入，我们在项目的三年研究中还在下列与项目相关的扩展方向进行了研究（1）半连续变量和基数约束数学规划问题；（2）离散分布下一的概率约束最优化问题；（3）金融中的投资组合和风险管理问题的非凸和整数规划模型。.项目取得了一系列较高水平的研究成果，共发表（录用）SCI/SSCI论文22篇，其中包括国际运筹与优化权威期刊Mathematical Programming, Mathematics of Operations Research, SIAM Journal on Optimization。 此外，论文还发表在与运筹相关领域的顶级国际期刊Automatica （自动控制领域），Journal of Banking & Finance (金融领域)。