局部/全局网格参数化方法的研究

Mesh parameterization has been a hot topic in the field of computer graphics, and it has a wide range of applications. This project will focus on the three problems of this issue: plane parameterization, spherical parameterization and volume parameterization. They are composed of two steps: local optimization and global solution. In the local phase, we will analyze the difference between the various energy expressions, and obtain a novel fitting matrix. In the global phase, we will give a unified framework and convergence of these methods. In order to deal with overlapping of high curvature models, we introduce an adaptive stretch-operator in the local/global method, and give a general formula and some related properties. These work will further enrich the theory of local/global methods, and make it better applied to the QuadCover remeshing and CubeCover remeshing.

网格参数化一直是计算机图形学领域关注的热点, 并且有着十分广泛的应用。本项目将围绕局部/全局网格参数化方法对平面参数化、球面参数化和体参数化等三类问题进行研究。对每类问题的研究主要分为局部优化和全局求解两个步骤。在局部优化中，详细分析和比较各种能量表达式的差异，得到新的拟合矩阵；在全局求解中，给出这类方法的统一框架和收敛性证明。为了消除高曲率模型在参数化后的翻转和重叠，还会在局部/全局方法的框架中引入自适应拉伸算子，并给出它的通用公式和相关性质。这些工作将进一步完善局部/全局参数化方法的理论，使其更好的应用到模型的四边形剖分和六面体剖分等图形学领域。

本项目主要研究了计算机图形学中的曲面参数化问题，包含平面参数化和球面参数化。我们的研究基础是平面ARAP方法和ARAP++方法，针对零亏格封闭网格提出了一类新的局部/全局球面参数化方法, 该方法很自然的将平面ARAP++方法推广到球面上. 该球面参数化方法推导得到了两个3D空间的拟合矩阵, 通过优化全局Spring 能量, 可以得到带有球面约束的非线性方程组. 此外, 还将推导得到的三维拟合矩阵直接应用到平面三角形上, 从而得到一类新的局部/全局参数化方法来进行平面参数化. 随后基于ARAP方法的思想提出了一种可拉伸的曲面参数化方法. 该方法可针对高曲率的三角网格进行处理, 消除重叠, 从而得到可拉伸的平面和球面参数化结果. 它建立在平面ARAP++方法的局部优化和全局求解的框架下, 通过调整Jacobian矩阵奇异值的拉伸算子, 来控制参数化的角度面积和拉伸扭曲. 该算法可以通过三维空间的Jacobian矩阵直接推广到球面参数化, 便捷高效, 应用灵活.