某些随机延迟生理模型数值方法的研究及其应用

In the recent years, the study of random phenomena attracted many scholors. The mathematical physiological model with stochastic effect is an important trend in the development of mathematical physiology. Since numerical simulation method is one of the most powerful tools to analyze models, constructing some approprirate numerical methods is a valuable study project. In this project, we shall mainly build some numerical methods, that is of high accuracy and could preserve the intrinsic properties of the true solution, for some kinds of stochastic delay differential equations (SDDEs), which describe some phylogical characteristics. More precisely, the content includes: (1) For some one dimentional SDDEs, we shall study whether the numerical methods could retain the existence of the positive solution, the stochastic stability, and the other some dynamics; (2) For the multi-dimentional SDDEs, we shall propose the highly efficient numerical methods and analyze the relative properties; (3) The constucted numerical methods will be applied to simulate some special stochastic physiological models, and explain the phenomena in physiology, according to the dyanmical behaviors of the numerical solutions. The main results of the project not only rich the theory of numerical methods of SDDEs, but also promoting the development of physiology and its related subjects.

目前，对随机现象的研究引起了众多学者的关注。研究具有随机作用的数学生理模型将是数学生理学发展的重要趋势。由于数值仿真方法是分析数学生理模型最有力的工具之一，所以针对随机生理模型建立高效的数值方法是一项值得研究的课题。本项目主要针对几类描述生理特征的随机延迟微分方程（SDDE），建立高精度的、高效率的、可以正确反映方程内在性质的数值方法。具体的内容包括：(1) 对某些一维SDDE，分析一些数值方法对原方程正解存在性、随机稳定性、及其它动力学性质的保持；(2) 对一些高维 SDDE，建立高效的数值方法，并分析其相关性质；(3)应用得到的数值方法模拟一些具体的随机生理模型，解释数值解的动力学行为所反映的生理学意义。该项目的研究结果不仅可以丰富随机延迟微分方程数值方法理论，也可以推动生理数学等相关学科的发展。

本项目主要研究了几类确定性和具有随机作用的微分方程的动力学性质，针对两类微分方程建立了数值方法，研究了方法的性质。..具体内容包括：(1) 分别研究了两类确定性神经网络模型的稳定性和耗散性，建立数值方法进行仿真模拟，验证了理论结果；针对一类不稳定的延迟微分方程建立离散时间反馈控制，得到有效的控制强度范围。(2)结合图理论方法研究了几类随机耦合系统、随机神经网络的有界性、稳定性；研究了随机Richards增长模型的渐近稳定性。(3) 针对两类模型，建立了非标准有限差分方法，证明了这些算法可以正确反映方程内在稳定性、有界性、耗散性等动力学性质。..应用得到的理论，我们可以应用到某些确定性或随机生理模型中，通过数值解的动力学行为解释所反映的生理学意义。