Lorentz流形中的类时极值超曲面

The theory of time-like extremal hypersurfaces in Lorentz manifolds tightly relates to the geometry、physics and fluid dynamics, and is one of the hot research topics nowadays. It has important scientific significance and wide background in general relativity、cosmology and modern mathematics. This project will focus on the global existence of the smooth solution to the Cauchy problem of time-like extremal hypersurface equation in Lorentz manifolds including (1) Minkowski spacetime with small perturbations; (2) Schwarzschild spacetime; (3) expanding spacetime by adopting the method of hyperbolic geometry analysis. These problems build a bridge between hyperbolic partial differential equations and geometry and physics, the resolution of them plays an important role not only in the theory but also in the applications.

Lorentz流形中的类时极值超曲面理论是涉及到几何学、物理学和流体动力学等领域的交叉研究课题，是当前主流的研究方向之一。它在广义相对论、宇宙学和现代数学中具有重要的科学意义和应用背景。本项目将采用双曲几何分析的方法着重研究类时极值超曲面方程在(1) 小扰动Minkowski时空；(2) Schwarzschild时空；(3) 膨胀宇宙时空中柯西问题光滑解的整体存在性。这些问题是连接双曲偏微分方程与几何、物理的一座桥梁，它们的解决无论在理论上还是在应用方面均具有重要的科学价值。

本项目主要针对与几何学、物理学及相对论流体力学相关的一类非常重要的模型（Lorentz流形中的类时极值超曲面）进行深入地研究。项目组主要从几个方面进行了研究并得到了一些相关的成果：（1）小扰动Minkowski时空中类时极值超曲面光滑解的整体存在性；（2）类时极值超曲面方程大解的整体存在性及自相似解的破裂行为；（3）Schwarzschild-de Sitter、FLRW时空中相对论Burgers方程、相对论欧拉方程、类时极值超曲面方程光滑解的整体存在性及破裂；（4）带正宇宙常数的Einstein-Euler系统FLRW解的整体稳定性。这些结果围绕着国际著名流体力学专家A. Majda对于完全线性退化双曲方程组提出的解的结构猜想展开。该猜想具体为：具有完全线性退化特征的拟线性对称双曲方程组要么具有整体光滑解要么解本身会在有限的时间内爆破。本项目研究结果在一定程度上证实了该猜想的正确性，并为双曲方程组特别是高维情形提供了一定的理论基础。