二维麦克斯韦方程组的数值方法研究

This project aims to solve the two-dimensional Maxwell’s equations by various types of numerical methods. The Maxwell’s equations are conventionally discretized by using conforming finite element methods. However, in that approach the discrete problem turns out to be non-elliptic. That makes the convergence analysis extremely complicated. In contrast, in this project we discretize the problem by nonconforming methods and discontinuous Galerkin methods, which makes the discrete problem elliptic; hence the complexity of convergence analysis of both the numerical schemes and adaptive algorithms will be greatly reduced. The main purpose of this project is to prove the optimal convergence rates for the proposed adaptive finite element methods on general nonconvex polygonal domains. Moreover, in this project we also investigate various numerical methods for Maxwell’s equations based on the Hodge decomposition. Theoretical results are confirmed by numerical experiments. In order to achieve optimal convergence, the mesh needs to be graded properly near the corners where the solution has singularities. This is a new approach to numerically solve differential equations with singular solutions. The study of the numerical methods for Maxwell’s equations would also facilitate that of other problems in related research areas, such as fluid-structure interaction problem in mechanical engineering.

本项目主要研究求解二维麦克斯韦方程组的多种数值方法。与传统的对于麦克斯韦方程组的数值解法不同，本项目中由非协调有限元方法、间断Galerkin方法等得出的离散问题为椭圆型方程，这使得各类有限元格式及自适应算法的误差分析复杂度大为降低。本项目的主要目标是证明在一般性非凸多边形区域上，基于局部网格细分的自适应有限元算法具有最优的误差收敛速率。另外，本项目还将利用Hodge分解研究二维麦克斯方程组的各类数值算法，并通过数值实验对理论结果进行验证。我们将依据真实解的正则性质，对计算区域进行相应的等级网格剖分，并理论证明各类数值方法在等级网格上具有最优收敛性质。这是数值近似麦克斯韦方程组非光滑解的一项新技术。

本项目主要研究求解二维麦克斯韦方程组和其它相关微分方程的多种数值方法。我们首先研究了具有不连续系数的二阶椭圆模型问题的HDG方法，进而将此方法拓展到低频时域麦克斯韦方程。我们在高正则与低正则条件下分别推导了误差估计式，并理论证明了HDG方法具有最优误差收敛阶。另外，项目组设计构造了高频率时域麦克斯韦方程的HDG算法，并在混合curl-curl形式基础上进行理论分析，更进一步在低正则条件下推导了误差估计。此工作的重要创新性在于针对边界条件进行的特殊投影处理，从而解决了高频麦克斯韦方程低正则解析解的数值模拟难题。在此项目中，我们还重点研究了四阶旋度问题的数值解法。稳态麦克斯韦方程可以视为一个二阶向量旋度方程，其具有与四阶向量旋度方程类似的结构和性质。项目组首先利用Hodge分解将向量问题化简为一系列二阶椭圆标量问题，从而极大降低数值求解的复杂度。同时，我们提出在非单联通区域上构造合适的等级网格，并理论证明等级网格下各类数值方法的最优误差收敛速率。另外，我们研究了针对向量问题的多重网格法的构造、收敛性分析等。本项目的另一项重要研究内容是微分方程数值算法的后验误差估计。我们重点研究了椭圆模型问题、Allen-Cahn方程、麦克斯韦方程等有限元算法及DG方法的后验误差估计，以及相应的自适应算法的构造和理论分析。我们在非凸多边形区域以及一般性多面体网格上取得的数值结果能够很好的验证后验误差的理论收敛速率。在本项目中，我们还研究了与麦克斯韦方程密切相关的四阶旋度问题的C0内罚方法、混合有限元方法等。其它相关研究内容还包括四阶变分不等式问题的DG方法研究、裂缝地下含水层中地下水流问题的数值算法，包括非协调有限元方法、有限差分方法等。