非光滑力学问题的锥型互补法及其应用研究

非光滑力学为研究涉及不等式约束的非线性问题提供了统一方法，而计算方法的研究对其理论能否有效应用于工程实际具有关键作用。项目申请结合新近提出的锥规划理论，将非光滑力学的线性互补法拓展到锥型互补法，旨在建立非光滑力学问题的锥规划计算理论，从而提高非光滑力学问题的计算精度和效率。首先，通过对塑性、接触、摩擦和黏附等典型问题的研究，探讨构建非光滑力学问题锥规划模型的一般方法，建立非光滑力学问题的锥型互补变分原理，并设计适用于大规模工程计算且易被工程师使用的锥型互补问题多项式时间算法；进而，以接触问题为具体应用，建立可同时考虑黏附、有限应变、塑性和摩擦的锥型互补模型及算法，以满足工程中广泛存在的各类软固体接触的分析需要。本项目申请的研究，可望为进一步揭示非光滑力学问题的高度非线性本质提供更简明的数学模型和高效算法。研究成果对促进非光滑力学理论和计算方法的发展以及与工程实际应用的密切结合具有重要意义。

本项目旨在将数学规划领域新近提出的锥规划方法引入到非光滑力学问题的数值求解中，建立非光滑力学的锥规划计算理论，为具有广泛工程应用背景的典型非光滑力学问题建立表述更简洁的数学模型，并为其提供高精度、高效率的计算方法。. 项目深入研究了求解单侧接触、三维Coulomb摩擦、考虑线性强化和非线性强化的Mises弹塑性和Tresca弹塑性以及允许关联流动和非关联流动的Drucker-Prager弹塑性和Mohr-Coulomb弹塑性等典型非光滑力学问题的数值计算方法，并提出相应的锥型互补计算模型。针对具体力学问题所对应的锥型互补模型，进一步研究了求解二阶锥互补问题的非内点半光滑Newton类算法和求解半定锥互补问题的内点类算法。. 项目已取得的研究成果主要包括三个方面，第一，在数学模型方面，将若干典型非光滑力学问题中的边界条件和材料本构模型重新在锥规划的框架下进行了表述，具体包括：建立了正交各向异性Coulomb摩擦接触问题的正则化二阶锥线性互补模型，建立了非线性强化J2弹塑性分析的二阶锥非线性互补模型，建立了允许关联流动和非关联流动的Drucker-Prager弹塑性分析的二阶锥互补模型，建立了Tresca弹塑性和Mohr-Coulomb弹塑性分析的半定锥互补模型；第二，在力学变分原理及其有限元方法方面，针对三维摩擦接触问题、弹塑性增量分析等问题，将钟万勰院士所提倡的参变量变分原理推进到锥规划的层次上，并给出了无需显式线性化的精确有限元列式，与以往所使用的线性互补法相比较，项目所提出方法的计算效率和精度更高；第三，在模型解算方面，研究了基于约当代数和NCP函数的求解二阶锥互补问题的半光滑Newton算法，研究了求解半定锥互补问题的内点算法，并具体应用于三维摩擦接触问题和弹塑性问题的解算。. 项目的研究为三维摩擦接触问题、弹塑性问题、粘附问题等高度非线性力学问题建立了更简明的数学模型，这不仅为将数学规划领域不断提出的高效数值方法引入到具体力学问题分析中提供了“桥梁”的作用，也为利用系统而强大的数学分析工具进一步揭示和分析这类力学问题的非线性本质奠定了坚实的基础。. 截至目前，本项目主要研究成果已在国际SCI期刊正式发表论文3篇，国内EI期刊论文3篇，国际会议2篇，国内会议3篇。培养毕业硕士研究生2名，在读硕士研究生3名。