具有 Sobolev 初值的拟线性抛物型 PDE 初边值问题研究

The study of probabilistic interpretation for initial boundary value problem of quasi-linear parabolic partial differential equations has been a hot issue in the fields of stochastic analysis and stochastic (partial) differential equations, which plays an important role in the fields of physics, fluid mechanics and financial control. This project aims to study the probabilistic interpretation and well posedness for initial value problem of quasi-linear partial integro-differential equations and Neumann problem for quasi-linear parabolic partial differential equations with Sobolev initial value. We mainly focus on the following questions: the global well posedness of quasi-linear partial integro-differential equations with Wk,p(k is greater than or equal to three) Sobolev initial value; the well posedness of quasi-linear partial integro-differential equations with W1,p Sobolev initial value, including the local existence and global existence; the markov property of solutions and stochastic flows for stochastic differential equations driven by reflected diffusion process; probabilistic interpretation and well posedness for Neumann problem of quasi-linear parabolic partial differential equations with Sobolev initial value.

拟线性抛物型偏微分方程初边值问题的概率解法研究一直是随机分析和随机(偏)微分方程领域密切关注的热点问题，且在物理、流体力学以及金融控制领域具有重要的应用。本项目主要研究具有Sobolev初值的拟线性偏积分微分方程初值问题和拟线性抛物型偏微分方程Neumann问题的概率解释及其适定性。我们主要关注以下问题：具有Wk,p(k大于或者等于3)Sobolev初值的拟线性偏积分微分方程初值问题的全局适定性；具有W1,pSobolev初值的拟线性偏积分微分方程初值问题的适定性，包括局部存在性和全局存在性；反射扩散过程驱动的随机微分方程解的Markov性和随机流结果；具有Sobolev初值的拟线性抛物型偏微分方程Neumann问题的概率解释及其适定性。

概率方法研究偏微分方程有其特殊的优越性，许多确定手法无法解决的问题，可以在概率角度下得以清晰的解释，这也是这一问题得到非常大的关注的原因。本项目研究具有Sobolev初值的拟线性抛物型偏微分方程的一些概率解释，是随机分析和偏微分方程研究一个重要的补充，在工程和科学上都有重要意义。本项目在ODE、SDE和PDE之间的转化关系基础上，通过由Brown运动和纯跳Lévy过程驱动的随机微分方程和概率表示公式组成的系统来研究拟线性偏积分微分方程的适定性。主要得到了如下结果：给出了Brown运动和纯跳Lévy过程驱动的随机微分方程的Bismut公式及其线性估计，建立了具有Wk,p( k大于等于3 )初值拟线性偏积分微分方程初值问题的全局解的适定性结论；通过研究由对称α稳定过程驱动的随机微分方程, 在赋权Sobolev空间中得到了一类半线性偏积分微分方程的弱解的适定性结论。