点Hopf代数及李双代数量子化问题的研究

李双代数的量子化研究结果丰富，但 Cartan型单李代数量子化一直是国内外学者关注的开问题. 申请者研究Cartan型单李代数W型的量子化问题时,构造了具体的Drinfeld扭，得到重要结果，为Hopf代数专家寻求新的有限维Hopf代数的例子找到了新的研究途径和方法。有限维Hopf代数的分类尚未完全解决，点Hopf代数已成为当前国际上的一个热点研究问题。基于此， 本项目拟研究如下内容：（1）限制双参数量子群（作为点Hopf代数）的构造、性质、分类及表示。（2）构造一系列具体的Drinfeld扭（依赖于经典r-矩阵或4维子代数），研究它们之间的关系。（3）确定特征零域上Cartan型李代数S,H,K型上李双代数结构的量子化；利用模李代数的技巧，研究特征P域上相应的量子化问题。相信这些新的有限维量子群的结构,通过表示论对提供扭结的新的量子不变量研究有直接的理论价。

本研究项目的结果包含两方面内容：（1）限制的B型双参数量子群（作为点的Hopf代数）的结构、性质及表示。（2）构造一系列具体的Drinfeld扭，确定特征0域及特征p域上Cartan型李代数S型，H型及K型的量子化的问题。.. 在第一方面，构造B型双参数量子群的凸性PBW基，确定 Ribbon元的充要条件等取得一定成果，特别对限制双参数量子群进行分类，纠正A型限制双参数量子群的分类问题取得重要进展。另外，我们研究了限制B型、G型双参数量子群的单模分解，给出了单模分解的充要条件；还研究了B型双参数量子群正部分的导子及自同构群等问题。. 在第二方面，解决了特征0域及特征p域上Cartan型李代数S型，H型的量子化问题。进一步研究了2维（交换的及非交换）子代数给出的扭，四维、五维子代数给出的扭及相应的量子化。对Cartan型李代数量子化结果的分类有重要进展。