线性抛物系统同步时间最优控制及其相关问题的研究

This project aims to study time optimal control and the related problems governed by some kind of linear parabolic systems with exactly synchronized or approximately synchronized constraints. The project focuses on three aspects: the exact(approximate)synchronization of the systems; the relationship between time optimal and norm optimal control problems of the exact(approximate)synchronization of the systems; the bang-bang property of time optimal control problems of the exact(approximate)synchronization of the systems. In this project, we would like to use Carleman estimates(unique continuation)in some sense and the controllability of some linear parabolic systems to obtain the conditions under which the systems are exactly(approximately)synchronized; prove the equivalence between time optimal and norm optimal control problems of the exact (approximate)synchronization of the systems under certain conditions; apply the above mentioned equivalence or the observability inequality (unique continuation) on a measurable set in time to prove the bang-bang property of the time optimal control problems.

本项目拟研究某一类线性抛物系统的精确同步和近似同步控制问题，着重研究以同步为目标的时间最优控制问题。研究内容包括：系统能精确（近似）同步的条件、系统精确（近似）同步时间最优与相应的范数最优控制问题之间的关系、系统精确（近似）同步时间最优控制问题的bang-bang性。相应地，通过本项目的研究，我们期望利用Carleman估计（方程的唯一延拓性）和能控性给出系统能精确（近似）同步的充分条件；在一定条件下，证得精确（近似）同步时间最优控制和范数最优控制问题的等价性；利用前述等价性或某种意义下的时间可测集上的能观性不等式（唯一延拓性）得出精确（近似）同步时间最优控制问题的bang-bang性。

本项目的研究主要分为三个部分。第一，对于耦合的线性常微分方程所表示的控制系统，得到了该系统能精确同步和能渐近同步的充分必要条件，计算了该系统的同步状态，说明了同步状态与控制选取无关。第二，对于耦合的线性抛物方程所给出的控制系统，当控制形式为连续控制时，首先得到了系统能精确同步的等价条件；其次，我们考虑了一类优化目标为积分型泛函的同步最优控制问题，证明了这类最优控制问题满足的最大值原理；最后，建立了同步时间最优和范数最优控制问题的等价性，给出了最优时间和最优控制所满足的充分必要条件。当控制形式为周期脉冲控制时，给出了系统约束近似零能控的充分条件，以及系统能稳的充分必要条件。第三，对于多智能体系统，我们研究了系统的一致性、有限时间一致性、编队控制等。