奇点理论视角下的拓扑和微分几何学研究

Singularity theory has important applications in topology, differential geometry, algebraic geometry and differential equations. The purpose of this project is to do research on topological and geometrical properties of submanifolds for several spaces from the view point of singularity theory, in order to reveal the properties of singularities of the submanifolds, which were not pointed out in the conventional research..Specifically,.1. The relationship between singularities of the smooth mapping and geometric invariants of submanifolds..2. Geometrical properties and classification of singularities of submanifolds of semi-Riemannian manifold..3. Topological properties of the smooth mapping..4. Characteristic polynomial, freeness and supersolvability of a hyperplane arrangement or a multiarrangement.

奇点理论在拓扑学、微分几何、代数几何以及微分方程中都有重要的应用。本项目拟在奇点理论视角下研究各种空间中子流形的拓扑和几何性质，以揭示传统研究中所没有涉及的子流形的奇点性质。着重研究：.1．.光滑映射的奇点和子流形的几何不变量之间的关系；.2．.半黎曼流形的子流形的几何性质和奇点分类；.3．.光滑映射的拓扑学性质；.4．.超平面构形和多重构形的特征多项式、超可解性和自由性。

本项目中，我们主要利用奇点理论研究了欧氏空间、半黎曼流形和光球空间的子流形的几何、拓扑性质以及构形的特征多项式和超可解性的算法，并揭示了映射的奇点与子流形的几何不变量之间的联系。. 项目执行期间获得了如下主要结果：.1）建立了Anti de Sitter空间中1-类光子流形的局部微分几何，并利用勒让德奇点理论给出了1-类光子极限球超曲面的几何、拓扑性质以及映射的奇点与子流形的几何不变量之间的联系。.2）建立了光球曲线的局部微分几何，并应用S.Izumiya的勒让德对偶理论，给出了光球曲线的光锥对偶超曲面的奇点分类。.3）给出了光滑映射芽的弱相对决定和相对无限决定的充要条件。.4）构造了中心构形的系数矩阵、特征矩阵，并给出了计算构形的特征多项式和超可解性的算法。