不定度量子流形的相关问题研究

In modern differential geometry, it is important to study the properties, structures and classifications of the submanifolds in the spaces with indefinite metrics. By building the basic theories and determining some examples restricted by particular conditions, the main research work will be carried on. The models and methods which are used in this project are different from the traditional ones. First, the restriction about space is broken through. Many problems in Euclidean space are generalized into the ones in the spaces with indefinite metric such as the Minkowski space and the space forms. Second, some particular methods are invented to study the properties of submanifolds with indefinite metric. For instance, the structure functions are used to study the properties of submanifolds,the pitch function,angel function and distribution parameter of ruled submanifolds are defined vividly to characterize the structure of non-developable ruled submanifolds. Finally,the relations between different geometric quantity are built by studying the pairs of submanifolds. Such as, the angel between different kind of vectors can be found through studying the ruled submanifolds partner. . The contents are proposed based on the accumulated experience through previous research work. The preparation have been done almostly. Everything will go well and some valuable achievements will be obtained under the support of this project. Meanwhile, it will lay a good foundation for the future research work in the spaces with indefinite metric.

不定度量空间中子流形的性质、结构以及分类是现代几何研究的重要任务之一，其研究涉及建立一般理论和确定具有某种特定约束条件的特例。本项目用不同于传统的研究模式和方法研究不定度量空间中子流形的相关问题。首先，突破研究空间的限制，将欧氏空间中的问题推广到不定度量空间。如Minkowski空间以及三种空间型中的几何。其次，利用特殊的方法研究不定度量空间中子流形的性质。例如，利用结构函数来描述子流形的结构，用螺距，螺角和分布参数等几何量描述非可展直纹子流形的性质。最后，通过子流形对的研究建立不同类型几何量的联系。例如，通过研究直纹子流形对的关系寻找不同类型向量间的夹角等。. 相关内容是根据前期研究工作积累的经验提出的，项目的前期准备工作已经基本完成，相信在项目的支持下相关工作会顺利开展，并取得有价值的成果。同时为今后在不定度量空间的研究工作奠定良好基础。

伪黎曼流形（子流形）的结构、性质及分类是现代几何研究的重要内容之一，其研究涉及流形的一般理论和确定流形在某种约束条件下的分类以及具体的应用实例，相关内容的研究已经成为数学和物理学者讨论的热点,并在其他相关学科中显现出重要的应用前景和价值。.本项目用不同于传统的研究模式和方法，基于流形的几何不变量研究了不定度量空间（空间型）中子流形的几何结构、性质、分类以及应用。研究内容主要包括类光曲线，伪零曲线及相关伴随曲线（对）的几何性质以及应用；直纹子流形，圆纹子流形，混合子流形的几何理论、分类以及应用。.项目研究过程中取得了重要的研究结果，主要有：.第一，利用直纹曲面对的几何结构解决了与类光向量相关的任意两个向量的夹角问题。这一成果与已有的非类光向量之间的夹角一起构成不定度量空间中任意两个向量夹角的完整理论，为今后在此空间开展研究工作提供了坚实的理论基础。.第二，将欧氏空间中由圆绕着一条曲线运动而形成的圆纹曲面推广到Minkowski空间中。根据中心曲线的三种情况及三种空间型将该空间中的圆纹曲面分成9类。目前，该空间中9种圆纹曲面的几何理论已经完备，并且根据该类曲面的高斯映射在Laplace算子和Cheng-Yau算子的作用进行了分类。这一成果填补了子流形几何理论研究上的一个空白，得到了相关几何学者的关注。该成果可以应用在工业设计、生物医学等领域，如机械臂设计、血管成像等。.第三，根据一些常见子流形的几何结构构建了若干具有实际应用价值的（混合）子流形。如堤坝子流形，即由单参数圆锥曲面族生成的一类直纹子流形。该类子流形在水利工程，建筑设计中有着不可替代的应用价值。又如，增长子流形，即由空间曲线按照设计的方向和速度运动而形成的子流形。该类子流形在计算机辅助几何设计、生物结构衍化，尤其是贝类生物结构的研究方面具有极大的应用价值。.在项目的支持下，不仅取得了丰硕的研究成果，同时为今后研究工作的开展奠定了良好的基础。