一类无穷远处具有渐近结构的非紧完备流形上的等周问题研究

In this project we will investigate some complete and noncompact Riemannian manifolds with certain asymptotically structures at infinities. Those manifolds include asymptotically flat manifolds, asymptotically hyperbolic manifolds, conformally compact manifolds etc. All those manifolds not only are natural generalizations of corresponding spaceforms in Riemannian geometry, but also play important roles in physics. We try to understand geometric meaning of some basic theorems and conserve quantities in General Relativity via studying geometric properties of isoperimetric surfaces. As applications, we may get geometric descriptions of these manifolds.

本项目旨在研究无穷远处具有某种渐近结构的一类非紧完备流形的几何性质。这类流形包括渐近平坦流形，渐近双曲流形，共形紧流形等。这些流形是Riemann几何中相应空间形式的自然推广，同时也是物理学中某些重要定律的载体。我们试图通过研究这些流形上的等周曲面的几何性质来揭示广义相对论中某些定理及守恒量的几何实质，并得到这些流形的几何刻画，从而为几何分析今后发展提供新视角。

本项目首先研究了渐近双曲流形上的等周曲面唯一性，然后证明了数量曲率非负时的一类局部Penrose不等式；还研究了若干带奇异性度量和数量曲率有关的几何分析问题，得到了度量具有某种奇异集的正质量定理； 最后还研究了M.Gromov 2018年提出的非负数量曲率填充问题和一类数量曲率非负的非紧完备流形的几何性质。本项目完全回答了Gromov提出的一个公开问题和部分回答了Gromov的非负数量曲率填充问题。.本项目的创新点在于： 1）发现至少在三维情形时，广义相对论中的Hawking质量可以控制等周曲面在渐近双曲流形中的位置；2）发现一种在一类非紧完备流形上构造\mu-bubble方法用以研究数量曲率几何。3）发展构造Quasi-Spherical 度量方法，并把它用于研究非负数量曲率填充问题。