自反算子代数与半差积

自反算子代数和半叉积是非自伴算子代数理论中的核心研究内容，具有重要的理论价值和广泛的应用价值. 自反算子代数在非自伴算子代数研究中所起的作用犹如von-Neumann代数在自伴代数研究中所起的作用；半叉积是从动力系统中产生的一类非自伴算子代数，它和自伴算子代数密切相关. 本项目中,我们将高度借鉴和应用自伴算子代数的研究思想和方法, 充分利用代数学上的已有成果和方法思想,来研究自反算子代数和半叉积的结构.主要研究内容包括：自反性，Banach-Stone定理，Lie结构和Jordan结构. 自反性问题来自于不变子空间问题，对它的研究将揭示空间和算子的关系；Lie结构和Jordan结构是算子代数上两种重要的非结合结构，对它们的研究将拓展算子代数在量子力学等学科中的应用；而将函数空间上的Banach-Stone定理推广到自反代数和半叉积上,将展示非自伴算子代数作为解析函数空间推广的特征.

本项目主要研究了算子代数的Lie结构，高维数值域以及Banach代数交叉积. 在Lie结构方面，我们通过对极大交换Lie理想的研究，刻画了Banach空间上套代数间的Lie同构；开启了局部Lie映射的研究，证明了B(X)和套代数上的局部Lie导子是导子，刻画了B(X)上的2-局部Lie导子和2-局部Lie同构；给出了一个套代数其中的每个Lie理想都是有限秩算子可分解的充分必要条件；证明了Lie三重可导映射的可加性。在高维数值维方面，我们给出了一些基本性质，并据此研究了和高维数值域相关的一些映射；在Banach代数交叉积方面，定义并研究了诱导交叉积和局部m-凸代数的交叉积，对顺从群证明了交叉积和诱导交叉积的一致性，对一般群证明了局部m-凸代数交叉积是一族Banach代数交叉积的逆极限. 在保持映射方面，刻画了保相似、保Jordan*-乘积的映射以及可乘保.