蒙日-安培方程奇性问题及相关几何问题的研究

This project mainly focuses on the study of the properties of solutions to the Monge-Ampère equation with one isolated singularity, and some geometric problems related with the Monge-Ampère equation theory. It focuses on four aspects: regularity estimation and asymptotic behavior analysis of solutions to the complex (real) Monge-Ampère equation with one isolated singularity, generalization of the partial C0 estimate and discrete Monge-Ampère equation theory and some ralated discrete geometric flows.

此项目的主要关注蒙日-安培方程中右端项带有孤立奇点的方程解的性状的研究，以及与蒙日-安培理论有关系的一些几何问题。重点关注四个方面的研究：带孤立奇点的复（实）蒙日-安培方程解的正则性估计和渐近行为分析，偏C0估计理论的推广，蒙日-安培方程离散化和相关离散几何流问题。

流形几何化问题是几何分析以及几何拓扑领域的主要问题之一，其主要内容可概括为：对于给定拓扑流形或几何流形判断符合要求的完备光滑度量或典则度量的存在性条件，以及确定有效寻找途径。在处理相关问题时，人们常常需要对相应的完全非线性方程或曲率流方程解的结构和性质加以讨论研究，其中蒙日-安培方程理论以及田-估计（偏C0估计）理论是讨论和解决典则度量存在性问题的重要理论支持；而组合曲率流方程理论则是研究拓扑流形几何化的有力工具。.本项目主要研究内容为包含以下几个方面：.1.对奇性蒙日-安培方程以及特定几何背景下一般完全非线性方程解的性状分析；.2.对Fano流形上，更一般情形下的田-估计理论进行讨论；.3.考虑蒙日-安培方程离散化问题以及组合几何流问题，利用组合几何流思想处理拓扑流形几何化问题。..重要结果：.1. 证明了具有高亏格边界的三维流形，如果其理想剖分的度不小于10，则存在唯一的完备双曲度量使之实现几何化。.2. 证明了在边界为尖点的三维流形背景下，延拓组合曲率流解的长时间存在性和唯一性，同时分析了完备双曲度量存在条件下解的收敛性质。.3. 在Fano流形上，沿着混合有锥奇点所在简单正则相交除子以及扭曲正则光滑（1，1）形式的一般性道路建立了田-估计。.4. 建立了佐佐木流形上一类横截完全非线性方程的先验估计并给出了一些几何应用。