某些分形集上的调和分析

This Project studies the harmonic analysis on some important fractals. Our purposes contain the following tasks: (1) To investigate the harmonic analysis associated with local Dirichlet forms on some fractals, including the estimates of eigenvalues, capacities, effective resistance, and the behaviors of the Green functions, heat kernel estimates, function spaces such as Sobolev-type spaces, and further to develop and consummate the existent theory and analytical mathematical tools ;(2) To construct quasi-Dirichlet forms on Sierpiński gasket and its heat kernel bounds, and also to generalize our results to a more broad class of fractals such as post-critically finite self-similar sets introduced by Kigami;(3) To investiagte the heat kernel corresponding to a special class of Markov processes on fractals; (4) Some other cutting-edge open problems closely related with the Dirichlet form and the heat kernel, for instance, to prove or to disprove that for a local conservative regular Dirichlet form on a doubling space, the upper estimate of the heat kernel is equivalent to the two-sided bounds of the first eigenvalue on a ball plus the Faber-Krahn inequality, and also to construct a Dirichlet form on the Sierpiński carpet and its heat kernel estimate, and to find out the exact value of its walk dimension; (5) To publish the research papers in the first-class world mathematical journals; (6) To collaborate with the mathematicians both from abroad and home country, and to bring up the young generation.

本项目研究分形集上的调和分析。主要任务有：（1）研究某些分形集上关于非局部狄氏型上的调和分析，包括特征值估计、容量估计、有效阻抗估计、Green函数的性态、热核估计、函数空间包括索伯列夫空间等相关问题，进一步发展和完善现有的分析理论和研究工具；（2）构造Sierpiński垫片上的伪局部狄氏型及其热核，并将结果推广到更一般的分形，包括Kigami引入的后临界有限自相似集等；（3）研究分形集上一类特殊马氏过程的热核；（4）与狄氏型和热核密切相关的某些其它重大和前沿问题,包括证明或反证明对加倍度量空间上的局部、守恒的正则狄氏型，其热核的上界估计等价于第一个特征值在球上的双边估计加Faber-Krahn 不等式，以及利用纯分析的方法，构造平面上的Sierpiński地毯的狄氏型以及热核估计，并且寻找游动维数的精确值；（5）在国际一流数学刊物上发表研究成果；（6）广泛展开国内外学术交流，培养人才。

分形分析是近年来国际研究的焦点，涉及分形几何、偏微分方程、概率论与随机过程、图论、函数空间、调和分析等众多数学领域。本项目主要研究内容有：1)某些分形集上上的调和分析，包括强局部狄氏型的构造、热核估计、以及函数空间包括索伯列夫空间的刻画等相关问题，进一步发展和完善现有的分析理论和研究工具；（2）刻画一般度量空间上热核估计的等价条件；（3）非局部狄氏型热核下界估计。本项目有如下成果：（1）度量测度空间上Green函数与热核：申请人和德国比勒菲尔德大学的Alexander Grigor’yan合作，对度量测度空间上狄氏型热核的上界估计，给出了一个新的等价刻画，该文长达59页，在国际前沿数学期刊 Canadian Journal of Mathematics发表（2014， pp. 641–699）发表；2）非局部正则狄氏型的热核估计：对度量测度空间上一类非局部正则狄氏型的热核上界估计，给出了全新的证明方法。利用抛物方程极大值原理， 本文发展了一套处理该问题新的完整分析技巧，论文发表在国际一流数学杂志Trans. Amer. Math. Soc. (2014)；3）加倍度量空间上热核上界估计：考虑加倍度量空间上的正则、保守、局部（regular, conservative and local）的狄氏型，本文从分析和概率两种角度，给出热核上界估计的各种等价刻画，形成一套较完整的、封闭的研究热核上界估计的基本框架，该文发表在Moscow Math. J. （2014）；4）度量测度空间上广义容量、哈纳克不等式和狄氏型的热核：对度量测度空间上强局部正则狄氏型的热核次高斯估计，给出了一个新的等价刻画，该文长达65页，在国际主流数学期刊 Journal of the Mathematical Society of Japan专刊（纪念国际著名数学家、Wolf奖获得者伊藤清诞辰一百周年）发表（2015）；5）度量测度空间上热核的下界估计：对度量测度空间上非局部正则狄氏型的热核下界给出了一个精确刻画，该文利用分析技巧，证明热核下近似对角估计加上生存估计，可以推出热核的完全下界估计，论文发表在国际一流数学杂志Journal of Functional Analysis (2017)。