KdV和双曲方程基于一般数值流通量的间断有限元方法

The aim of this project is to investigate a priori error estimates and superconvergence theory of discontinuous Galerkin (DG) methods based on general numerical fluxes for solving Korteweg-de Vries (KdV) and hyperbolic equations. The main contents include the following three parts: (1) To carry out optimal error estimates for local DG methods based on upwind-biased numerical fluxes and generalized alternating numerical fluxes for third-order KdV equations; (2) To investigate superconvergence regarding Radau points,domain averages and special projection of the error of DG methods based on upwind-biased numerical fluxes for first-order linear hyperbolic equations; (3) To study superconvergence of enhanced accuracy local post-processing techniques of DG methods with general numerical fluxes for first-order linear and nonlinear hyperbolic equations. Construction and analysis of some global projections, the construction of some correction functions as well as negative order norm error estimates play an important role in addressing issues related to theoretical analysis. Through the research of current project, we are expected to solve issues regarding to algorithm design and analysis for hyperbolic and KdV equations, and establishes a theoretical framework of convergence and superconvergence properties of DG methods for wave equations, entailing that it is in possession of great theoretical values for improving the computational efficiency of DG methods, and has strong practical values and scientific significance for more fluid dynamics problems.

本课题旨在研究求解 KdV和双曲方程基于一般数值流通量间断有限元（DG）方法的先验误差估计及超收敛理论，主要内容包括以下三个方面：(1) 对于三阶 KdV方程，研究基于一般偏迎风数值流通量和广义交替数值流通量局部 DG 方法的最优误差估计；(2) 对于一阶线性双曲方程，研究基于偏迎风数值流通量 DG 方法关于 Radau点、区域平均和误差特殊投影的超收敛性；(3) 对于一阶线性和非线性双曲方程，研究基于一般数值流通量 DG 方法关于提高精度的局部后处理技巧的超收敛性。在理论分析中，全局投影的构造和分析、修正函数的构造以及负模误差估计是解决问题的关键。拟通过本项目的研究，解决双曲和 KdV方程的算法设计与分析等问题，建立波动方程 DG方法的收敛性及超收敛性理论框架，不仅对提高 DG方法的计算效率具有很大的理论价值，而且对更多流体力学问题的高精度计算有很强的实用价值和科学意义。

作为一类求解对流占优问题的高精度数值方法，间断有限元（DG）方法以其计算有效性和灵活性发挥了愈来愈大的作用。众所周知，构造DG格式的核心在于数值流通量的选取，并且数值流通量对于格式的稳定性、最优误差估计和超收敛等有着决定性影响。本课题以KdV和双曲方程为主要研究对象，系统探究了一般数值流通量DG方法的稳定性和最优误差估计。具体而言，主要得到了以下重要研究成果，（1）对于变系数线性双曲方程，讨论了退化变系数的一般情形方程，严格证明了当使用偏迎风数值流通量DG方法的稳定性及最优误差估计。为证明最优误差估计，全局非耦合投影的构造与分析尤为关键，此工作被Journal of Scientific Computing接收，待发表。（2）针对二阶对流扩散方程，讨论了关于对流流通量和扩散流通量不同参数的一般情形，并通过对全局投影进行修正，最终得到一维及多维的最优误差估计结果。对于带有两个参数的数值流通量分析，修正全局投影的设计与分析尤为重要，此工作发表于Mathematics of Computation.（3）以线性化的三阶KdV方程为研究对象，考虑了当使用带有三个独立参数数值流通量的局部DG方法，此工作已投稿至Mathematics of Computation. 为探究三个数值粘性所带来的复杂性，在稳定性分析中着重分析了最小数值粘性系数、最大数值粘性系数及其之间的内在联系，并利用二次函数的理论得到了关于主要变量、辅助变量及其时间导数的一致稳定性结果。所得的结果一方面表明了全局投影及修正全局投影对于处理一般数值流通量的有效性，丰富了基于广义数值流通量DG方法的理论框架，另一方面也为间断解的模拟提供了更小数值粘性的数值流通量，因而对于科学计算具有很强的理论意义及实用价值。