非线性对称锥规划的内点算法及在最优控制中的应用

Nonlinear symmetric cone programming，the nonlinear programming over symmetric cones, is the current frontier and international hot issues in optimization and has wide applications in optimal control, economic management, engineering technology, etc.. Interior-point algorithms have been successful applied to linear symmetric cone programming in both theory and practice. However, there is still a lack of work on interior-point algorithms for nonlinear symmetric cone programming. The purpose of the project is to study interior-point algorithms for nonlinear symmetric cone programming and applications in optimal control. In theory, we develop duality theory and optimality conditions for nonlinear symmetric cone programming by using Euclidean Jordan algebras and T-algebra, respectively. In algorithms, we construct the new interior-point mappings to define the central path and study its algebraic and geometric properties. Then, we design and analyze primal-dual interior-point algorithms for nonlinear symmetric cone programming based on eligible kernel functions and algebraically equivalent transformations, respectively. In applications, we develop the semidefinite programming relaxation theory for stochastic linear quadratic optimal control and H2/Hinf control by using matrix analysis, stochastic analysis and convex programming relaxation theory. Then, we solve the world optimal control problems by using kernel-based interior-point algorithms. As the generalizations of the theory and algorithms for symmetric cone programming, we also consider the kernel-based and full Nesterov-Todd step interior-point algorithms for homogeneous cone programming. This project is one of the challenging, fundamental and key problems in optimization, which relates to optimization, fundamental mathematics, optimal control and computer science. It has important scientific significance and great practical application value, which not only enriches the theory for cone programming, but also provides new theory and methods for optimal control.

非线性对称锥规划（NSCP）是指对称锥上的非线性规划问题，是当前国际最优化领域的前沿和热点问题，在最优控制、经济管理、工程技术等领域有广泛应用。国际上线性对称锥规划的内点算法研究非常成功，但NSCP的内点算法研究比较欠缺。本项目旨在系统研究NSCP的内点算法及在最优控制中的应用。理论上，利用欧几里德若当代数和T-代数建立NSCP的对偶理论及最优性条件等。算法上，构造新的内点映射，定义中心路径并研究其代数与几何性质；基于核函数和代数等价变换研究NSCP的内点算法。应用上，利用矩阵分析、随机分析和凸松弛理论等，建立随机线性二次控制和H2/Hinf控制的精确半定规划松弛理论并设计内点算法求解。作为对称锥规划的理论和方法的推广，利用T-代数研究线性齐次锥规划的内点算法。本项目属最优化、基础数学、最优控制和计算机科学的交叉与融合，它的实施不仅能丰富锥规划理论，而且为最优控制提供新理论和新方法。

非线性对称锥规划是线性规划和非线性规划的推广，而且包含二阶锥规划、半定规划和对称锥规划等问题，属最优化领域的前沿和热点问题，在最优控制、经济管理、工程技术、信息科学等领域有广泛应用。本项目旨在系统和深入研究非线性对称锥规划的内点算法及在最优控制中的应用。经过四年的研究，本项目已经达到预期研究目标。主要成果如下：（1）拓展和建立了Craig-Sakamoto定理以及Araki-Lieb-Thirring等范数不等式在若当代数框架下的结论。（2）利用代数等价变换定义新的搜索方向，研究了半定规划和对称锥规划的全NT步原始-对偶内点算法，有效改进了算法的复杂界。（3）基于一类新的带三角函数罚项的Eligible-核函数设计和分析了求解P*(k)-线性互补问题、笛卡尔P*(k)-对称锥线性互补问题和凸二次对称锥规划的有效内点算法，得到迄今为止该方法最好的理论复杂界。（4）利用核函数和代数等价变换分别定义新的搜索方向，设计和分析了求解（凸二次）旋转锥规划的原始-对偶内点算法并给出其复杂性分析。（6）借助Wirtinger积分技术，研究了复数域上实值可分凸规划的交替方向乘子法，并证明该方法具有O(1/K)收敛速度。（7）基于希尔伯特时间尺度变换的控制参数技术，考虑了一类带有等式和不等式约束的非线性时滞系统最优控制问题的有效计算方法。同时，研究了非线性时滞系统的模型跟踪控制系统设计以及带有扰动的机械手系统模型跟踪控制器设计的问题，数值和仿真表明该方法是可行和有效的。（8）利用两种不同的分析方法，建立了两个节点间平均首达时的精确表达式，为研究复杂网络上的随机游走提供了新的研究思路框架。同时，考虑了两个图之间的拓扑结构匹配度量的问题。（9）针对不平衡数据集的低分类效率，基于L-SMOTE算法和混合核SVM提出了一种改进的SMOTE算法。基于UCI数据集的数值仿真结果表明该方法具有更好的分类效果且运算时间大幅减少。.依托本课题，项目组成员在J. Optim. Theory Appl., Optim. Lett.和Linear Algebra Appl.等上发表学术论文17篇，其中SCI收录11篇、外文期刊5篇和北大核心1篇；已投稿SCI期刊4篇。在优化领域的重要会议上作学术报告8次。组织召开第一届和第二届统计与运筹青年学者论坛，为促进统计与运筹交叉领域的研究起到一定的推动作用。