几类非散度型方程解的性质研究

In recent years, the study for non-divergence equations, which come from biology, physics, chemistry, etc, becomes a hot topic in the field of nonlinear PDEs , and is significant both for the PDE theory and applications. However, the related results still are far from complete. In this project, we will mainly study asymptotic behavior of non-divergence equations, including (1) blow-up properties and large time behavior of solutions to those equations with nonlinear reactive.and absorption terms; (2) blow-down properties of super-fast diffusion equations which can be obtained by the non-divergence equations via a transformation; (3) gradient blow-up properties and the existence of homoclinic orbit for doubly degenerate non-divergence equations. In order to overcome the essential difficulties due to the particular structure of the involved equation, we have to improve the general Kaplan method, rescaling transform and concave method, etc, in our study.

非散度型方程源于生物、物理、力学等领域的，是近年偏微分方程领域倍受关注却又很不完善的研究课题，具有重要理论与实际意义。本项目拟研究几类非散度型方程解的渐近性质等问题，包括：（1）带非线性一阶项和零阶项的非散度型方程解的爆破性质及长时间行为；（2）与非散度型方程对应的超快扩散方程解的 Blow-down 行为（3）双退化非散度型方程解的梯度爆破、同宿轨道的存在性等问题。拟通过改进传统Kaplan方法、rescaling变换、凹方法等研究手段来克服方程结构的特殊性给问题带来的本质困难。

非散度型方程源于生物、物理、力学等领域的，是近年偏微分方程领域倍受关注却又很不完善的研究课题，具有重要理论与实际意义。本项目旨在研究多重非线性非散度型抛物方程（组）解的渐近行为。所谓多重非线性包括非线性扩散（二阶项）、非线性对流（一阶项）、非线性源或吸收（零阶项）等，并且方程组可通过其中的一种或几种非线性加以耦合。.本项目以非散度型抛物方程为研究主题，重点研究了该主题所涉及双退化非散度型抛物方程解的渐近性质以及几类具交叉扩散的趋化模型解的整体有界性。在本项目的研究中，我们获得了以下重要结果： .（1）考虑了带一阶项和零阶项的双退化非散度型方程，得到了各类非线性指标占优下解是否发生爆破的完整分类，特别的，我们还得到了一阶项是否能促进解爆破的条件；.（2）获得了一类带旋转特性的趋化-流体耦合系统解的整体有界性；.（3）考虑了拟线性带Lotka-Volterra-type竞争关系两种群趋化模型，运用最大Sobolev原理，证明了此类模型解的整体有界性。.（4）利用一个新的Gagliardo-Nirenberg插值不等式，讨论了高维情形下拟线性趋化-排斥模型解的整体有界性。.上述研究内容和所获得的研究成果具有很强的学科交叉性和综合性，并具有广阔的应用前景。