辫子Hopf代数和bicrossproduct量子群上非交换微分的构造和分类

In this project we are taking the quantum group approach to study noncommutative differential geometry. We aim to develop the known Woronowicz's theory to the general braided category setting, this allows us to consider geometry on interesting braided Hopf algebras, such as Nichols-Woronowicz algebras. The main aim of the project is to obtain some systematic means of construction, some general information of structure and interesting properties，and some classification results on differential forms of braided Hopf algebra as well as of certain bicrossproduct quantum groups, such as quantum Poincare groups.

本项目致力于用量子群来研究非交换几何，其主旨是得到辫子Hopf代数和bicrossproduct量子群上的微分结构系统性构造方法并得到一些有趣代数上的微分结构，比如著名的Nichols-Woronowicz代数、量子Poincare群。项目着重于给出辫子Hopf代数和bicrossproduct量子群上微分结构的一些普遍性信息和重要性质，在部分特殊类型上得到较为完备的分类结果。关键手段是将已知的（左）双协变微分结构分类理论、微分对偶理论、pre-Lie代数工具发展到一般的辫子张量范畴中。

本项目致力于用量子群来研究非交换几何。其主旨是得到辫子Hopf代数和双叉积bicrossproduct量子群上的微分结构。我们首先将Woronowicz的理论发展到一般的辫子张量范畴中。我们发现在辫子余交换条件下可以由低次部分得到整体微分外代数的构造。这可以与辫子李代数联系起来，具有深刻的理论意义。其次，我们用箭图工具研究有限群上非交换黎曼几何。我们发现群代数和函数代数的对偶性可以扩展到对应的几何，线性联络为箭图表示，量子主丛也可由箭图几何来表述，我们不仅得到较为完美的分类结果，还将非交换黎曼几何信息转化为表示论信息，这是十分新颖的结果。基于箭图便于计算的特点，我们给出箭图上双模黎曼几何的量子度量的刻画，并且在一个特殊箭图上给出了量子Levi-Civita联络的四维参数空间，这是非常难得的结果。