若干双曲抛物耦合振动系统的适定性、正则性与稳定性分析

In the hyperbolic-parabolic coupled vibrating system, the temperature and the deformation interact each other. The temperature control is the most common phenomenon in industrial manufacturing process, and many of the manufacturing process can achive controlability by temperature control. In mechanical engineering, aviation technology and other fields, this phenomenon is particularly prominent, so the posedness and the stability of the solutions to the hyperbolic-parabolic coupled vibration system become the important research topics. This project is on the basis of preliminary studies, and to study the thermal and elastic vibration system, the following problems, the well-posedness and the stability of a semilinear coupled thermoelastic beam vibrating system which describes a vibrating system subjecting to the solar radiation; the well-posedness and the stability of a semilinear coupled thermoelastic plate vibrating system which describes a vibrating system subjecting to the solar radiation;the abstract hyperbolic-parabolic coupled vibrating system with the coupling parameters indicator, when the parameters change, the smoothness, stability and other issues of the coupled system. Main tools are the theory of partial differential equations, the distributed parameter control theory, the nonlinear analysis theory, the harmonic analysis theory. By studying the characters of the hyperbolic-parabolic coupled vibrating system, we want to seek the properties and the stability conditions of the solutions to the coupled system, especially the affect of nonlinear heat source to the properties of vibrating system. We expect to find out some theorical in the study of hyperbolic-parabolic coupled vibrating system, analyze the results, provide valuable scientific theory for engineering practice, and open up new ways of reasonable using and controling vibration.

在双曲抛物耦合振动系统中，温度同形变相互作用，而温度控制是工业制造过程最普遍的现象，许多制造过程正是通过温度控制来达到控制目的。在工程机械、航空技术等领域，这样的现象尤其突出，因此对双曲抛物耦合振动系统解的适定性、正则性、稳定性研究就成为重要研究课题。本课题是在前期研究基础上，以热弹性耦合振动系统为研究对象，具体研究：受太阳辐射的热弹性梁耦合振动系统解的适定性、稳定性；受太阳辐射的热弹性板耦合振动系统解的适定性及稳定性；耦合指标为参数的抽象双曲抛物耦合振动系统当参数变化时,系统的正则性、稳定性、最优衰减率等问题。主要工具有偏微分方程理论、分布参数控制理论、非线性分析、调和分析等理论。通过研究双曲抛物耦合振动系统的特点，寻求其解的适定性、正则性、稳定性和衰减率等，特别是非线性热源对系统性态的影响。可望在研究中对研究结果进行分析，给工程实际提供有价值的科学依据，开辟合理利用和控制振动的新途径。

双曲抛物耦合振动系统，包含热弹性耦合振动系统和粘弹性振动系统。在现代工业制造过程中，尤其是工程机械和航空领域中，通过温度控制来达到控制目的是很常见的。振动系统由于其材质、周围环境等影响因素，在描述振动过程的数学模型中会出现变系数情形，会出现粘弹性阻尼、摩擦阻尼、外力以及时滞等项。而这些影响因素会破坏系统的守恒，可能出现系统的不稳定或者趋于渐近稳定。寻找使得系统不稳定和稳定的影响机制，寻找使得系统能够指数稳定或者其他类型稳定的条件等就成为重要的研究课题。本项目以一些具体的、抽象的热弹性耦合振动系统和粘弹性振动系统为研究对象，利用偏微分方程理论、分布参数控制理论、非线性分析等理论方法研究了系统的适定性、稳定性和不稳定性，在稳定的情形进一步研究了稳定的类型。通过研究该项目我们找到了有效控制振动的方法。（1）研究了带有耦合参数的抽象的双曲-抛物耦合系统，当参数取不同值时，相应系统生成的半群分别是解析的、Gevrey class、非光滑的，而且Gevery class的阶数在一定条件下是最优的，同时也得到了系统的稳定性结果；（2）研究了带有粘弹性项、阻尼、外力源项等的抽象波动方程和具体的变系数耦合Euler-Bernoulli板方程、非线性耦合粘弹性波方程等模型，分别给出了解的稳定和爆破，而且给出了其衰减率是与粘弹性核函数衰减率相关的；（3）研究了带有粘性阻尼和时滞的第三类型渗流-热弹性振动系统，其边界上有变化的时滞。通过对松弛函数和时滞施加合适的限制，得到了系统的一般衰减结果；（4）研究了一类具有同位控制和观测的抽象二阶无穷维系统的稳定性，结果可用于波方程和热方程的耦合系统，其中热方程的作用被认为是作用在波方程上的控制器。该成果提供了一个研究偏微分方程所描述的耦合系统的不同的视角。本项目在计划任务的基础上，超额完成了计划任务，得到了一些很好的研究成果，也为下一阶段新的研究提出了方向，作了很好的铺垫，研究将为工程实际提供有价值的科学依据，开辟合理利用和控制振动的新途径。