欧氏距离矩阵锥约束优化的理论与算法

Euclidean distance matrix cone constrained optimization has been receiving much attention in these years. It has wide and significant applications not only in the practical problems of image processing, multidimensional scaling and wireless sensor network localization, but also in the theoretical studies of econometrics and biogenetics. Today, the application research of this kind of conic programming is very successful. However, the studies of optimality conditions, the stability theory and the efficient methods for Euclidean distance matrix cone constrained optimization are not rich enough. Thus, based on the variational analysis theory, firstly, this project will construct the variational geometry of the Euclidean distance matrix cone ( including the tangent cone, the normal cone and the second order tangent set ), describe its constraint qualifications (including the Robinson constraint qualification, the strict constraint qualification and the constraint nondegeneracy conditions), build the first order and the second order optimality conditions, and establish the stability theory. Secondly, based on the theoretical conclusions above, the eigenvalue decomposition theory and the differential properties of projection operator and Löwner operator, we will construct augmented Lagrangians method and nonlinear Lagrangians method for Euclidean distance matrix cone constrained optimization, and discuss their convergence. The aim of this project is to study the theory and algorithms for Euclidean distance matrix cone constrained optimization to develop the conic programming.

欧氏距离矩阵锥约束优化是目前非常活跃的研究领域。无论在图像处理、多维排序、无线传感的网络定位等实际问题，还是在计量经济学、生物遗传学等科学领域都有着广泛而重要的应用。目前，关于这类锥优化问题的应用研究已经非常成功，但是关于它的最优性理论、稳定性理论及求解它的有效算法的研究成果还远不够丰富。因此，本项目首先拟借助变分分析理论，建立欧氏距离矩阵锥的变分几何(包括切锥、法锥、二阶切集)，刻画欧氏距离矩阵锥约束优化问题的约束规范(包括Robinson约束规范的具体形式、严格约束规范与约束非退化条件)，建立一阶、二阶最优性条件并进行稳定性分析。其次，在上述理论研究基础上，借助特征值分解理论，结合投影算子、Löwner算子的微分性质，建立求解欧氏距离矩阵锥约束优化的增广拉格朗日函数法和非线性拉格朗日函数法，并进行收敛性分析。本项目旨在系统研究欧式距离矩阵锥约束优化的理论与算法，进而推动锥规划的发展。

锥约束优化是目前非常活跃的科学研究领域。主要原因是这类问题可以广泛地应用在经济管理、交通、通讯工程、生物技术等很多实际部门，并且在控制理论、数值优化、组合优化、鲁棒优化等理论研究中也有着重要的应用。本项目首先研究了欧氏距离矩阵锥约束优化问题的最优性理论。根据欧氏距离矩阵锥约束优化问题的特殊表达形式，本项目先刻画了K^n_+锥的变分几何。包括它的切锥、法锥、二阶切集等，然后给出了该问题的几类约束规范的具体表达形式和一阶必要性条件。课题的后续工作还要研究该问题的二阶最优性条件及扰动分析。 .其次，本项目还研究了二阶锥约束随机变分不等式（SSOCCVI）问题的数值解法。运用了样本均值近似（SAA）法结合Fischer-Burmeister互补函数来求解该问题。先将SSOCCVI问题的KKT系统转化为与之等价的方程组问题进行求解，随后证明了该方程组的Jacobian矩阵的非奇异性。然后构造了半光滑牛顿法来求解该方程组问题。最后给出数值实验证明了算法的有效性。.矩阵锥约束的优化问题是一类重要的锥约束优化问题。而与矩阵锥约束优化问题相关的一类问题被称为对称矩阵最大特征值和的优化问题。这类问题近年来也受到了广泛的关注。求解这类问题的最主要的难点在于，当特征值的重数多于一时，函数是非光滑的。本项目应用U-拉格朗日理论分析了最大特征值函数和的一系列理论。在一定条件下，给出了U-拉格朗日函数的一阶和二阶信息。在上述理论结果的基础上，沿着某个光滑轨迹得到最大特征值函数和的二阶信息。并给出了一个超线性收敛的算法框架。