丢番图不等式的若干研究

In this project, we will be engaged in the comprehensive applied research of analytic number theory method, particularly Davenport-Heilbronn circle method in Diophantine inequality problem, and improve some mean value theorems of exponential sums. Diophantine inequality which the project refers to is an important branch of number theory. Its' research work has great theoretical significance and research value on Diophantine approximation and additive number theory, etc. In the study of this project, we will use many theories and tools in analytic number theory and algebraic number theory.

在本项目中，我们将从事解析数论方法， 特别是Davenport-Heilbronn圆法在丢番图不等式问题中的综合应用研究，并改进有关若干指数和的均值定理。 该项目涉及的丢番图不等式问题是数论中的一个重要分支，其研究工作对丢番图逼近以及堆垒数论等内容有重要的理论意义和研究价值。在本课题的研究中，我们将应用到解析数论和代数数论中的许多理论与工具。

在整变量丢番图不等式的研究中，着重考虑了若干类型的二次与四次混合幂的丢番图不等式，采用R.C. Baker的一些思想改进了李伟平，龚克等人的结果. 在素变量丢番图不等式的研究中，对于无理数α以及实数β,我们首先考虑了素变元丢番图不等式 ，并改进了Matomaki[J. Number Theory 129(2009)]的工作，同时我们还创新地研究了 ，并等了令人满意的结果；其次，我们考虑了四个素数的平方与一个素数的k次方，以及两个素数与一个素数的k次方的情形，分别改进了李伟平与王天泽于2010年，2012年得到的结果. 随后，我们研究了涉及well-spaced序列的素变量丢番图逼近，先后分别采用G. Harman的方法及Languasco, Zaccagnini于2012年提出的有关三角和的大值估计新方法大幅度改进了李伟平与王天泽的结果，上述研究中我们注意将T.D. Wooley近年来对Vinogradov均值定理所做的重大改进与Heath-Brown对华不等式的改进结合起来，从而得到了较好的结果. 最后，我们研究了涉及非整指数的一类素变量丢番图不等式，在变量个数为4及5时，利用筛法并结合精密的指数和估计方法改进了翟文广与曹晓东的结果. 在堆垒数论方面，主要研究了某些混合幂的Waring—Goldbach问题及例外集问题，以及表大偶数为四个素数平方与若干个2的方幂之和的问题.