拟周期线性斜积系统及其应用

拟周期线性斜积系统作为一类特殊的动力系统，因其广泛的数学和物理背景，长期受到众多数学家的关注。我希望能通过深入的研究，对其动力学能有充分的认识。我们主要的研究方法包括KAM和重整化等。我们力图在三年内解决如下问题：.（1）当底空间频率为为任意无理频率时（特别是Liuville情形时），线性斜积系统在常系统附近的典型的动力学行为及其在算子谱理论中的应用；.（2）当底空间频率为为任意无理频率时（特别是Liuville情形时），SL(2,R)（或一般线性群等）上线性斜积系统解的增长性估计及其在算子谱理论中的应用；.（3）一些具有特殊性质或特殊形式的线性斜积系统的动力学行为的刻画及在算子谱理论中的相关应用；.（4）解析结果向低光滑性，如Gevery、光滑或有限光滑性等情形时的推广及在算子谱理论中的相关应用。

本项目旨在研究拟周期线性斜积系统的动力学及其相关应用。原计划研究下面四个方面的问题：.1. 任意无理频率时，拟周期线性斜积系统在常值附近的动力学；.2. 任意无理频率时， SL(2,R)上拟周期线性斜积系统解的增长性估计；.3. 具有特殊形式或性质的线性斜积系统的动力学刻画；.4. 解析结果向低光滑性如Gevrey等情形推广。.经过三年的研究，总体来说，基本上完成了上述目标。对于问题1，我们得到了关于几乎可约性和非扰的可约性的纯KAM证明，相关论文（与南京大学尤建功教授的合作工作）发表在Invention Mathematics上。对于问题3和4，我们关于紧群上系统遍历性和可约性的通有性和稠密性的一篇文章发表在TJM上；关于可测可约条件下系统Gevrey可约性的相关论文（与Nantes大学G.Popov教授的合作工作）目前已投稿；此外，我们尚有关于可测可约性与解析可约性的进一步研究工作即将完成。对于问题2，很遗憾在这方面未取得太多进展。