十维流形上的近复结构

It is a classical topic in Topology and Geometry to determine which manifolds admits an almost complex structure.This problem has been done by Wu, Wall, Heaps for 4, 6 and 8 dimensional manifolds respectively. But, for ten-dimensional manifolds, this problem was not solved until now. This project aims at the study of ten dimensional manifolds, and hope to get the necessary and sufficient conditions of ten dimensional manifolds to admit almost complex structures.

对于给定的流形M, 确定它是否存在近复结构是几何学和拓扑学中的经典并且重要的问题. 对于维数小于等于8的偶数维流形, 该问题已分别由吴文俊, Wall和Heaps等数学家解决. 但是目前为止, 对于十维流形该问题还没有完整的结果. 本研究计划将结合障碍论和K理论, 利用Atiyah-Hirzebruch谱序列, Bott序列, Riemann-Roch定理,Postnikov塔和指标定理等工具对十维流形进行研究. 期望能得到十维流形上存在近复结构的充要条件.

给定可定向流形M及其上实向量丛 ξ, 确定 ξ 是否存在复结构（若 ξ 为M的切丛，则称M存在近复结构），是几何和拓扑中的经典问题。若M的维数＜8，该问题已研究清楚。若M的维数大于等于8，该问题仅对一些特殊的M和ξ（例如：M是Spin^c的8流形或 ξ 是8维流形M的切丛等）有完整的结果。针对该问题，利用拓扑k理论，结合光滑流形的Riemann-Roch定理及Atiyah-Hirzebruch谱序列，首先确定了8n维流形上的实向量丛存在稳定复结构的最后一个障碍，作为应用得到了8维流形上实向量丛存在稳定复结构的充分必要条件，进而确定了其存在复结构的充分必要条件；其次，对8n+4维流形，我们刻画了其上复向量丛存在稳定实形式的最后一个障碍；最后，对10维流形，推广并简化了Dessai的结果，对一类更一般的10维流形，我们用更简单的表达式表出了其上实向量丛存在稳定复结构的充要条件，特别的表出了该流形存在稳定近复结构的充要条件。所有这些结果不只推广了前人的结果，而且有新的发现，具有一定的理论意义。