连续偏序集和拟连续偏序集范畴的笛卡尔闭性质研究

Domain theory is an important meeting area of mathematics and theoretical computer science, which provides a foundation for order theory, logic theory, functional programming, etc. Generalizing results of domain structures to continuous posets and quasicontinuous ones is of intriguing interest. Based on the research outcome so far, the following four aspects will be involved in the project by combining domain theory, topology and category theory: (1) Studying the cartesian closedness and maximality of the categories of posets by utilizing the methods for categories of domains; (2) Classifying continuous posets by using the approach of D-completion, and investigating their cartesian closedness as full subcategories of CONTP, the category of continuous posets; (3) Considering the properties of the function spaces between quasicontinuous posets, and discussing whether each cartesian closed category of quasicontinuous posets is a subcategory of CONTP; (4) Utilizing the approaches of Ds2-completion and Dθ-completion to find cartesian closed categories of s2-continuous posets and θ-continuous posets.

Domain理论是数学与计算机科学重要的交叉领域，被广泛地应用于序理论，逻辑学，函数式程序语言等各个领域。Domain理论当前的一个研究热点是将经典理论进一步推广到连续偏序集和拟连续偏序集等数学结构上。本项目拟结合domain理论、拓扑和范畴论等相关理论，在已有研究结果的基础上，从以下四个方面展开研究：(1) 借鉴关于Domain范畴笛卡尔闭性质的相关研究方法，研究偏序集范畴的(极大)笛卡尔闭子范畴；(2) 以D-完备化作为划分连续偏序集范畴的工具，探究连续偏序集范畴CONTP的笛卡尔闭满子范畴；(3) 研究拟连续偏序集之间的函数空间的连续性质，进而探讨拟连续偏序集范畴qCONTP是否具有非CONTP子范畴且笛卡尔闭的满子范畴；(4) 利用Ds2-完备化和Dθ-完备化方法，研究s2-连续偏序集和θ-连续偏序集范畴的笛卡尔闭性质。

上世纪七十年代初，著名计算机科学家、图灵奖得主D. Scott为了给函数式程序语言提供指称语义，提出了连续格的概念。Domain理论的兴起，正是源于计算机科学和数学两个领域的理论研究。. 本项目的主要研究内容围绕偏序集的完备化展开。偏序集的完备性种类繁多，本项目的一个研究内容是，如何把这些完备化放到一个统一的框架下，满足最一般的泛性质。在拓扑学中，找到诸如sober化、D-完备化此类的完备化统一形式，是本项目的另一个研究内容。Domain理论中连续性概念的推广是该方向的研究趋势，偏序集的连续性定义种类很多，我们研究了如何在非Hausdorff空间上定义连续性，借助拓扑的不同，涵盖各种类型的连续偏序集。. 我们重点研究了偏序集和闭包空间的完备化方法,取得了一系列的研究成果。主要研究成果：(1) 对于一个子集系统Z，我们引入了二次选择Γ的概念，我们提出的ZΓ-完备化是偏序集完备化的一种统一形式。(2) m-代数格的概念包含很多特例，我们引进了m-逼近概念，建立了LATm，m-代数格和m-连续函数构成的范畴，和CXTm，context和m-逼近态射构成的范畴之间的范畴等价关系。(3) 我们在所有T0闭包空间构成的范畴CL0上引入了子集系统的概念，Z-收敛空间作为sober空间和单调收敛空间的统一推广被引入。(4) 我们考虑了T0闭包空间范畴CL0的满子范畴R，给出了R-完备化的构造，这是从CL0到R的范畴反射。Sober化、有界Sober化、D-完备化、条件地D-完备化、良滤化、K-完备化等都是R-完备化/Z-完备化的特例。(5) 我们在Δ-空间上引入了连续性、交连续性和拟连续性的概念，偏序集的连续性、s2-连续性、θ-连续性、强连续性等都是Δ-空间上的连续性的特例。(6) 我们将单调收敛性质引入到Q-余拓扑空间上，并且给出了Q-余拓扑空间关于该单调收敛性的完备化方法，以及具体刻画。. 这些研究成果将形形色色的完备化方法放到了统一的框架下，揭示了完备化的本质，搭建了序结构和拓扑空间、闭包空间的联系桥梁。