Heisenberg群与Minkowski空间中的非线性椭圆方程

We prepare to discuss the following three problems. 1. Recently, Prof. Trudinger and Zhangwei gave the welldefined Hessian measure on Heisenberg group. We want to follow this to study the integral estimate and to deduce its weak continuity and the Wolff potential estimate. Also, we want to discuss Liouville theorems and the properties of the sigularities with respect to the critical and subcritical index problems of fully nonlinear equations on the Heisenberg group. 2.In the Minkowski space,the equations of spacelike hypersurface with prescribed curvature is an interesting problem for a long history. Now, we have already known the sufficient and the necessary conditions for the Dirichlet problem of mean extrinsic curvature. Here, we sduty the corresponding Neumann problem and we also want to discuss the Dirichlet problem of prescribed high oder (bigger than 2) curvature equations. 3.In the Minkowski space,the maximal spacelike hypersurface is one of the important subjects and it has important geometric and physical background. We expect to draw out the properties of the level sets of this object from qualitative and quantitative aspects. Also, we will consider the convexity of the level sets of the constant mean extrinsic curvature spacelike surfaces, the similar problem in Euclidean space turned to have no convex level sets by a famous counterexample.

本项目拟做三个方面的工作。 1.Heisenberg群上的Hessian测度最近由Trudinger和张伟给出了定义，我们希望在此基础上研究相关的积分估计，进而得到Hessian测度的弱连续性和Wolfff位势估计。同时也考虑有关完全非线性方程的临界指标和次临界指标的Liouville定理和奇性刻画。 2.Minkowski空间中预定曲率的类空超曲面是长久以来人们关心的问题，预定平均曲率方程的Dirichlet问题已经有充要条件，我们拟对预定平均曲率方程的Neumann问题以及预定高阶（大于2阶）曲率的Dirichlet边值问题解的存在性进行研究。 3.在Minkowski空间中，极大类空超曲面有着重要几何、物理背景和应用。我们希望得到该曲面水平集的定性和定量的凸性刻画。我们也将考虑Minkowski空间中常平均曲率类空超曲面的水平集的凸性问题，该问题在欧氏空间中有反例说明水平集没有凸性。

项目《Heisenberg群和Minkowski空间的非线性椭圆方程》主要针对以下几个问题做了研究并取得了一定的研究成果。.1. 流形上偏微分方程解的水平集的凸性。偏微分方程解的凸性研究是长久以来大家感兴趣的问题之一。自上世纪50年代以来，出现了诸多研究结果，促进了几何分析的发展。鉴于前期的研究主要针对欧氏空间，本项目在此课题上做了研究，得到了流形上定义的极小曲面的水平集的常秩定理和定性凸性。也在Minkowski空间中讨论了极大类空超曲面的水平集和最速下降线的几何性质，得到了其最佳曲率估计。成果发表在Journal of Differential Equations、Iseral Journal of Mathematics等国际顶尖杂志上。.2. R^2梦日—安培方程的C^2内估计。由于Pogorelov反例的存在, sigma_2 Hessian方程的C^2内估计成为了完全非线性方程中的焦点问题之一. 本项目在R^2中给出了回答。.3. 完全非线性抛物方程的时空凸性。Chen-Ma-Salani对线性抛物方程的时空凸性给予了刻画，本项目进行过程中，对满足一定结构条件的完全非线性抛物方程的解的水平集的时空凸性得到了常秩定理，这对理解抛物方程解的几何性质有重要的意义。.4. Neumann边界条件下的平均曲率流的收敛性。平均曲率流是几何分析中一个重要的研究课题，在理论和应用中都有着重要的意义。Dirichlet边界条件下的平均曲率流已经完全解决，预定夹角的边界条件下的平均曲率的平移解依然是个未解决的问题。本项目考虑了Neumann边界条件下的平均曲率流的收敛性问题，完整得解决了该种边界条件下的平移解。对平均曲率流的刻画有着重要的意义。