Heisenberg群上拟线性次椭圆方程解的多重性与正则性

本项目将主要运用临界点理论中极大极小方法和Morse理论等工具，对Heisenberg群上拟线性(或半线性)次椭圆型方程弱解的多重性和正则性等问题开展深入研究。拟利用变分法、上下解方法、拓扑度理论和Morse理论研究相关方程弱解的存在性与不存在性；为克服能量泛函通常是"非光滑泛函"之困难，拟通过建立计算临界群的有效方法和新的 Morse不等式，研究弱解的多重性；拟建立反向H?lder不等式，运用调和逼近方法，得到弱解的部分正则性；拟通过建立弱解非水平方向导数估计的新方法，获得弱解水平导数的H?lder估计。本项目所研究的次椭圆型方程来自于次调和分析、优化控制论、最优运输问题、量子物理、次Riemann几何、流体力学和金融数学等领域，因此我们的研究是多学科领域在高层次上的交叉,将进一步丰富和发展微分方程、非线性泛函分析、次Riemann几何等学科的理论.

本项目主要研究了加权奇异拟线性椭圆方程和弱条件下拟线性椭圆方程解的存在性和多重性、Heisenberg群上的非线性椭圆方程(组) 解的存在性和正则性、任意区域上非齐次四阶椭圆方程解的正则性等问题，获得系列有意义的结果. .在欧式空间上，对带有超线性非线性项的加权拟线性椭圆边值问题、加权奇异拟线性椭圆方程的共振问题、加权拟线性抛物型方程的共振问题、具有跳跃非线性项的加权拟线性椭圆方程、带有不定权和临界位势的奇异拟线性椭圆边值问题，我们分别得到了它们解的存在性；对加权奇异拟线性椭圆方程特征值问题、带有p-Laplace算子的拟线性椭圆方程和带有临界Sobolev指标的多重调和方程等问题，分别获得解的多重性结果；在任意区域上，研究一类四阶非齐次椭圆方程，得到解的梯度几乎处处有界；对Heisenberg群上的半线性椭圆方程组的共振问题，我们得到了其解的多重性；在全空间H^n上，借助不光滑临界点理论研究了拟线性次椭圆方程其解的多重性和正则性；另外，项目组成员还对分数阶微分方程、Navier-Stokes-Korteweg方程和Schrödinger方程的相关问题进行了深入研究，得到系列重要成果..四年来，在该项目的资助下，项目组成员在SCI源刊上发表科研论文30篇，已被SCI数据库收录23篇，顺利完成立项报告中所拟定的任务.