高维铁磁链方程的可积性研究

The focus of this research is on (2+1)-dimensional integrable generalizations of Heisenberg equation and Landau-Lifshitz equation. It includes several aspects: (1) seek Myrzakulov-I equation with self-consistent sources and give its determinant solution by using the source generation procedure; (2) obtain a modified Ishimori equation and an integrable discretization of Ishimori equation via Hirota method; (3) construct and solve a (2+1)-dimensional integrable generalization of Landau-Lifshitz equation by using determinant identity.

本项目的研究重点放在Heisenberg 方程和Landau-Lifshitz 方程的2+1 维可积推广系统的研究上。主要研究内容包括三个方面：（1）用源生成方法寻找Myrzakulov-I 方程及其带自相容源方程的行列式解。（2）应用Hirota 双线性方法考虑Ishimori 方程的变形和可积离散系统。（3）通过孤立子解的推广和行列式恒等式构造和求解Landau-Lifshitz 方程的2+1 维可积方程。

基于可积方程与它的双线性贝克隆变换相容性，运用双线性方法提出了一种系统的构造可积离散方程的新方法，并成功地得到了微分差分KdV，KP，Sawada-Kotera，Boussines和Ito方程；应用李点对称分析方法得到了分数阶时间导数的KdV型方程的李点对称和相应的李代数结构； 基于两分量Camassa-Holm型方程Lax对的变形得到了推广的非等谱Camassa-Holm型可积方程，谱参数和t有关，并且得到了1-peakon解；运用源生成方法构造了一种新的微分差分KP方程的Wronski型和Gram型行列式解及其带源方程，同时说明了源生成方法和可积离散化的交换性对于KP方程是成立的；运用双线性方法给出了(2+1)维色散长波方程的Wronskian解和贝克隆变换，并且给出了(2+1)维推广的sinh-Gordon方程的N孤子解的指数形式解，并对它们解的性质进行了定性分析；运用双线性方法从二分量KP族的二分量Gram型解出发约化得到约化的负流AKNS族里的第一个方程的Gram型行列式解。