高余维极小子流形的Gauss映照值分布及相关问题

本项目将着重研究欧氏空间的高余维极小子流形的Gauss映照值分布问题，并在此基础上研究Gauss映照值分布与平均曲率流的存在性之间的联系。Bernstein问题是子流形几何的重要课题之一，但已有的大部分结果都要求极小子流形的Gauss像落在像流形的测地凸集之内；而高余维参数化极小子流形的Gauss映照值分布问题几乎无人涉猎。本项目将在申请人已有工作的基础之上，进一步挖掘极小子流形的Bernstein性质与其Gauss映照像流形上凸函数存在性之间的关系，并综合运用几何、分析、代数的方法，构造非平凡极小子流形的实例或研究其Gauss映照值分布等整体几何性质。申请人期望能由此推进Lawson-Osserman问题的解决和Do Carmo猜想的证明。在此基础上，项目组将尝试通过曲率估计或奇点分析等途径，研究当起始子流形的Gauss像落在特定区域内时，由此出发的平均曲率流的长时间存在性。

极小子流形的Bernstein问题，以及与此相关的Gauss映照值分布问题，是微分几何重要的研究课题。2012年1月至2014年12月，本课题组在已有文献和项目组成员既有工作的基础上，对上述问题进行了系统深入的研究，并从Gauss像的角度研究了平均曲率流的几何性质，取得了一系列成果。这些成果建立在对Gauss映照像流形（球面或实Grassmann流形）的凸几何性质的研究、欧氏空间子流形的可积性条件的运用，以及椭圆型偏微分方程的解的先验估计的改进等工作的基础之上，不仅有深刻的独立意义，而且对其它相关课题的研究具有一定的参考和借鉴价值。反映上述成果的论文已发表在J. Diff. Geom和Calc. Var. PDE等SCI杂志上。