具有年龄结构的多菌株传染病建模与最优控制研究

In most existing multi-strain epidemic models like tuberculosis, HIV, and influenza, there is no difference among the individuals. This leads to the deficiency of the models in the amount of information and rationality. Age-structured models can overcome this drawback. In this project, for some concrete diseases, we build some age-structured multi-strain models to reflect dynamics of various strains and the transmission mechanisms including reinfection, coinfection, mutation and cross-immunity. Their dynamics will be studied by applying semigroup theory, Lyapunov function method, theory of monotone systems, and bifurcation theory. Results on basic reproduction number and invasion number, stability of equilibria, persistence, backward bifurcation, and Hopf bifurcation will be obtained. We further use the sensitivity analysis of parameters to determine the control variables and establish optimal control problems by employing the Pontryagin maximum principle. The optimal control times and optimal cost will be computed. Finally, we use numerical simulations to achieve the goals of predicting and controlling disease. For this purpose, we estimate the parameters by the least squares method, and choose suitable ways to discretize systems and reasonable computation methods. This project provides with not only theoretical methods for the study of the global dynamics of multi-strain epidemics with age structures but also theoretical basis for prediction and control of multi-strain epidemics.

现有的肺结核、艾滋病和流感等多菌株传染病模型大多假定个体无差异，使得模型在信息量和合理性方面存在明显缺陷，具有年龄结构的模型可以克服这种不足。本项目针对一些具体的多菌株传染病不同菌株及菌株之间的重复感染、共同感染、变异、交叉免疫等疾病的传播机理，建立具有年龄结构的多菌株传染病动力学模型；用半群理论、构造Lyapunov泛函的方法、单调系统理论和分支理论研究所建立模型的动力学特征：基本再生数和侵入再生数、各平衡态的稳定性、一致持续生存、后向分支和Hopf分支等；再根据参数敏感性分析确立控制参数，利用Pontryagin最大值原理建立最优控制问题，计算最优控制时间和最优花费；最后采用最小二乘法估计参数，选择适当的差分格式并设计合理的计算方法，模拟达到对这种病的预测和控制的目的。该研究将为年龄结构多菌株传染病全局动力学研究提供理论方法,同时也可为其预防和控制提供理论依据。

本项目首先从一些单菌株的传染病模型出发，建立一些具体的和一般的传染病模型，研究其动力学形态；然后根据不同菌株及菌株之间的重复感染、共同感染、变异、交叉免疫等疾病的传播机理，建立具有年龄结构的多菌株传染病动力学模型。对建立起的传染病模型运用积分半群、算子谱理论、中心流形定理、Lyapunov泛函方法等理论和方法进行分析；研究模型解的存在性，给出基本再生数和侵入再生数的严格定义，研究平衡点的稳定性和分支等动力学性态。对已有的研究理论和方法都有一定的推广。应用数据挖掘和数理统计知识等相关知识，整合相关数据，然后利用最小二乘法估计模型中参数，评估各类具体传染病的流行现状，预测各年龄阶段疾病传播趋势。最后对模型做参数敏感性分析，分析影响疾病传播的主要因素，根据博弈论相关知识提出合理的控制策略，为政府或相关机构控制疾病传播提供理论依据。大数据时代的到来，也对数据的聚类带来新的契机，设计新的算法查看聚类的效果。..项目按照既定目标完成了一系列有关单菌株和多菌株疾病的建模及控制研究，已发和接收表高水平学术论文16篇，其中在SCI检索期刊上发表10篇。参加国内外学术会议13次，分别在加拿大劳瑞尔大学召开的AMMCS会议、新不伦瑞克大学讨论班及上师范大学组织的生物数学前沿研讨会上各做学术报告一次。在完成项目的过程中也遇到了一些新的问题，像非线性年龄结构传染病模型Lyapunov函数的构造；研究季节性传染病模型中基本再生数的计算中，高维Floquet乘子的计算；有关各类具体传染病核数据的整合；肺结核多菌株模型中耐药性的评估等问题都亟待解决。