向量均衡问题的迭代算法研究

Equilibrium problem is one of the most important research aspects in operation research. It is closely related with diverse theoretical and applied disciplines, such as mechanics, partial differential equations, optimal control, mathematical economics, optimization, game theory, nonlinear mathematical programming, etc. And, it is widely applied in these disciplines..How to find a solution is an important research aspect for equilibrium problem. Up to now, many researchers have studied it and obtained quantity effective algorithms. However, to the best of our knowledge, so far most of the algorithms are for scalar equilibrium problem, but very few is for vector one. On the other hand, vector equilibrium problem attracts more and more researchers' attention. One important reason is the complexity of the real world. Usually, the practical problems should be characterized by multiple criterions, and so the vector types of mathematical models are derived. Thus, how to propose appropriate algorithms for vector equilibrium problem is an important project and needs urgently to be explored for people..The main purpose of this project is to study iterative algorithms and their convergence for vector equilibrium problem. The study of these problems will enrich and develop its own theory and algorithm for vector equilibrium, which can provide important theoretical basis for its applications in diverse fields, such as traffic transportation, resource allocation, project management, etc. Also, this study will promote the development of some related problems, and it has significant meaning to the development of the discipline of operation research.

均衡问题是运筹学的重要研究方向之一。它与力学、微分方程、控制理论、数学经济、最优化理论、对策理论、非线性规划等理论和应用学科有着广泛的联系并有重要的应用。.如何求解，即算法，是均衡问题的一个重要研究方向。目前，尽管有学者对其进行了研究，获得了一些有效的算法，但绝大多数都限于标量均衡问题，而关于向量均衡问题的算法还比较少见。另一方面，向量均衡问题近来受到越来越多学者的关注，一个很重要的原因是真实世界的复杂性，很多实际问题往往需要用多个标准来描述，从而得到向量形式的数学模型。因此，如何建立向量均衡问题的算法是一个有待人们去探索的重要课题。.本项目将着重研究向量均衡问题的迭代算法及其收敛性。这些问题的研究不仅可以丰富和发展向量均衡自身的理论和算法，为向量均衡在交通运输、资源分配、工程管理等领域的应用提供重要理论依据，而且可以促进相关问题的进一步发展，对学科发展有重要意义。

向量均衡问题是运筹学的重要研究方向之一. 目前, 对其解的存在性研究已经获得比较丰富的成果, 但对其算法研究却是刚起步, 结果较少, 理论还很不完善. 另一方面, 由经济、生产和生活中大量实际问题(如, 多标准决策问题)所形成的向量均衡问题, 又迫切需要人们找到一些可行的、有效的和方便的计算方法来解决这些问题, 为人们决策时提供重要的理论依据. 因此, 研究向量均衡问题的算法是一个很有意义的课题.. 本项目利用多目标规划、非线性分析、凸分析、集值分析以及非光滑分析的相关理论与方法, 研究了向量均衡问题的算法及其相关问题, 获得了包括解的存在性与解集的性状、解的标量化刻画、对偶问题、稳定性、适定性、算法等诸多结果, 在国内外一些重要学术刊物上发表论文24篇, 其中SCI收录论文8篇, CSCD论文6篇. 在项目执行期间, 还培养了硕士研究生4名, 其中3名已毕业. 另外, 课题成员在资助期内还参加了全国性或国际性的重要学术会议5次, 及时交流和宣传了研究成果. 本项目的研究完成了任务书中所提出的各项任务, 达到了预期目标.. 由于向量均衡问题统一了最优化问题、变分不等式问题、相补问题、Nash 均衡问题、鞍点问题、不动点问题以及极小极大不等式问题等诸多重要数学问题, 因此, 本项目的研究不仅可以丰富和发展向量均衡自身的理论和算法, 为向量均衡在交通运输、资源分配、工程管理等领域的应用提供重要理论依据, 而且可以促进相关问题的进一步发展, 对学科发展也有重要意义.