排序型滤波的收敛性及正广义层叠滤波的优化设计

非线性数字滤波是上世纪80年代以来国际上新兴的信号处理中的一个重要研究领域. 基于排序运算的非线性数字窗滤波是一类重要的非线性数字滤波，它以其具有处理复杂信号的良好特性而备受瞩目，然而同线性滤波相比，其理论还很不完善，有很多问题需要研究。本项目一、进一步完善无限长信号排序滤波的收敛性理论；二、通过建立新的数学工具解决无限支集二维信号可分离中值滤波的收敛性态问题，进而彻底解决至今尚未完全解决的有关有限支集二维信号可分离中值滤波的收敛性态问题，在此基础上对有限支集二维信号连续使用可分离中值滤波收敛到根信号时，其滤波次数的上界予以估计；三、研究能够快速实现的正广义层叠滤波的优化设计。 本项目的实施有望为更好地使用这些滤波处理信号提供理论依据并为研究其它的非线性数字滤波提供新的思路和方法.

排序滤波、可分离中值滤波及层叠滤波是非线性滤波中的重要滤波，有着广泛的应用。在该项目中， 我们项目组首先建立了无限长信号排序滤波的收敛性态的理论。进而我们研究了信号的排序滤波收敛的充分必要条件，（1）当信号为有界信号时，该信号的排序滤波中的最大滤波收敛，该结果对排序滤波中的最小滤波也成立；（2）即当信号的排序滤波在其某一片断(片段的长度依赖于排序滤波的窗宽)上收敛时，则它在其任意片段上均收敛，即收敛于排序滤波的根。再者，我们研究了排序滤波根的特征，证明了排序滤波的根是周期的，并给出其周期的一个上界(上界与排序滤波的窗宽有关)， 还研究扰动对信号的排序滤波敛散性的影响。给出了一种特殊的排序滤波中值滤波局部有限收敛的特征， 根据这些结果彻底解决了这样的一个难题 ： 对于窗宽为5或7的中值滤波, 一个信号关于该滤波有限次收敛的充要条件是该信号在某长度为2的片段上有限次收敛或者该信号在某长度为3的片段上有限次收敛。研究了排序滤波的广义化对称加权阈值滤波的收敛性以及二维对称加权阈值滤波的收敛性。研究了排序滤波中的优化问题，给出一种用于测量窗滤波去除信号噪声能力的量--广义最小绝对均值（MAE）准则，在该准则下证明了其中值滤波的最优性还研究了中值滤波关于信号的广义相关性。再者, 研究了无限支集二维信号可分离中值滤波收敛性态问题。证明了当二维信号的行满足某种单调性时，对其实施连续可分离中值滤波, 其变化趋势两种，一是趋向于两种状态， 再者是趋向于一种状态，并研究了这些状态的结构特征；在此基础上研究了具有紧支撑的二维信号的可分离中值滤波的收敛性态问题。证明了当该二维信号的行满足某种单调性时，对其实施连续的可分离中值滤波时，则经过有限次后必变为根，即不再变化的信号，并且给出其次数的一个上界. 另外我们还研究二值图像恢复的快速算法。最后，提出一种混合MAE与MSE准则， 基于该准则我们给出一种新的层叠滤波优化设计算法。这种层叠滤波在有效地去除信号中的噪声的同时也能有效地保护信号细节。关于这些滤波的滤波特征的研究成果为更有效地在实际中使用这些滤波提供了理论支撑。