几类高次丢番图方程的解及其应用

By the method of linear forms in logarithms, developed by Baker and its successors, many high degree Diophantine equations and exponential Diophantine equations are solved. In addition, after the famous work of Wiles on the proof of Fermat’s Last Theorem, a new approach to Diophantine equations, called the modular method, has developed by many mathematicians. This method is based on deep results about Galois representations associated to elliptic curves and modular forms and has been used to tackle generalized Fermat equations. The main task of us is to combine the method of linear forms in logarithms and the modular method, and with the techniques and results from algebraic number theory, combinatorial and graph theory to solve some families of high degree Diophantine equations(e.g. equation of Ramanujan-Nagell type). We also consider the application of the results to some problems in combinatorial problems and information security.

由Baker及其后继者们发展的对数线性型方法,在过去的半个世纪里,解决了许多高次的丢番图方程以及指数丢番图方程.另外,在Wiles成功的证明费马大定理以后,经过许多数学家的不断努力,一条处理丢番图方程的新途径建立了起来,即模方法.这个方法来源于椭圆曲线与模形式上的Galois表示的深刻结果,现在已经用来处理广义费马方程以及一些高次的丢番图方程.本项目的主要任务就是结合对数线性型方法与模方法,同时引入代数数论与组合图论中的一些结果和技巧,解决一些高次丟番图方程（如Ramanujan-Nagell型方程）的整数解问题,并且考虑所得结果在组合问题和信息安全中的应用.

本项目研究了形如f(x)=by^n的高次丢番图方程的整数解问题，其中f(x)为某些特殊类型的整系数多项式，对于b=1,f(x)=(x-d)^4+x^4+(x+d)^4, (x-1)^3+x^5+(x+1)^3, (x-1)^5+x^3+(x+1)^5,利用模方法以及代数数论的方法刻画了对应方程的整数解..本项目讨论了Ulas关于Ramanujan-Nagell型方程解数的两个猜测，即（i）对给定的整数k>1以及B>0，方程x^2+k^n=B的非负整数解(x,n)不超过3组；（ii）对给定的整数k>1以及A>0，B>0，方程x^2+Ak^n=B的非负整数解(x,n)不超过4组. 对于k为素数，完整的解决了猜测（i）；对于k为素数，A=2,4，完整的解决了猜测（ii）；对于k为素数，以及一般的A，证明了当B大于某个依赖于A的数时，猜测（ii）成立..本项目讨论了和斐波那契数列有关的方程Fn^q±Fm^q=y^p，其中Fn为斐波那契数列中的项， p,q为大于1的正整数. 对q=2或模4余3且小于1087的素数时方程的解进行了研究，求出了n,m有相同奇偶性时的解. 完整求出了q=3时方程的解.