超奇异阿贝尔曲面和四元二次型

This project centers around supersingular abelian varieities over finite fields. It is known that the class number formula of certain structure on isogeny class of supersingular abelian surfaces over F_p matches with that of certain quaternary quadratic forms, while the latter is also related to the genus formula of some Hilbert modular surfaces. However, till now such relations are obtained by comparing the respective formulas. We aim to establish an theoretical foundation to explain such relations, using supersingular abelian surfaces as a bridge to connect quaternary quadratic forms and Hilbert modular surfaces. In this process, we would like to study in detail some structures of these supersingular abelian varieties such as endomorphism rings, automorphism groups, principal polarizations, etc.

本项目将围绕有限域上的某类超奇异阿贝尔曲面开展研究。 已有结果表明此类阿贝尔曲面的一些结构的类数公式与某种四元二次型的类数公式完全吻合， 同时后者又与一些希尔伯特模曲面的亏格相关。 目前这种相关性只是数据比较， 缺乏理论依据。 本项目计划以阿贝尔曲面为桥梁，从理论上解释以上三者的相关机制，并研究这类的阿贝尔曲面的一些结构如自同态环，自同构群，principal polarization等的分类和计算。

超奇异阿贝尔簇是正特征域上所特有的一类阿贝尔簇， 它们的研究与模型式和志村簇等理论都有密切的联系。 本项目围绕有限域上的阿贝尔簇的计数问题开展。 在此之前， 本项目负责人证明了任给有限域F_q上的d维超特殊阿贝尔簇的同构类个数只取决于F_q的特征p以及扩域次数[F_q : F_p]的奇偶性。 在本项目的支持下， 我们在一系列文章中逐步给出了超特殊阿贝尔曲面及其相关结构的同构类的确切公式, 并在此基础上解决了几个相关的四元数体的算术问题。 ..在扩域次数[F_q : F_p]为奇数的情况， 我们利用Honda-Tate理论， 先将F_q上的阿贝尔曲面按同源类进行分类。 除对应于Weil数√q的同源类外， 其余的同源类的计数问题均可划归为一些CM域中orders上的格的同构类的计数。 由于对应于Weil数√q的同源类的自同态代数为实二次域Q(√p)上的全正定的四元数体，该同源类与经典的超奇异椭圆曲线具有很大的相似性。我们对这类四元数体的算术理论如类数公式(class number formula)， 型数公式(type number formula)等进行了深入的研究，给出了该同源类中超奇异阿贝尔曲面自身，以及它们的自同态环的同构类个数公式，并在Ponomarev的结果的基础上建立了这类阿贝尔曲面与四元二次型的关系。上述所有结果均可以看作Deuring和Eichler的结果的推广。 通过以上研究， 我们首次给出了Vigneras在1975年提出的一个论断的严格证明：即这类四元数体的类数与它中心的全实域的类数的商是一个整数。通过对极大order的单位群的研究， 我们给出了此同源类中的自同态环为极大order的超特殊阿贝尔曲面的自同构群的分类，并给出了对应每一类自同构群的超特殊阿贝尔曲面的个数公式。作为该结果的一个应用，当p模24不为1时， 存在一个特征为p的域上的超特殊阿贝尔曲面， 使得它的自同态代数为Q(√p)。 .. 当[F_q : F_p]为偶数时，我们利用Galois上同调， 将超特殊阿贝尔曲面的计数问题转化为了某个算术群中的有限阶元的共轭类的个数的计数问题。这些共轭类的分类和计算又再次转化为某些特殊的非交换环上的格的同构类的计数问题。