C*-代数上离散群的作用及其交叉积的研究

This project mainly studies discrete group action on C*-algebra and its crossed product. The concrete research content includes: 1)As regards the group action on C*-algebra, based on the C*-algebra-valued positive definite mapping defined on group, we plan to provide a new definition for the amenability of group action, and further generalize it to the case of partial group action. Study the relation of the new and current definitions, with emphasis on the new definition's behavior in exploring problems including the *-isomorphism between universal and reduced crossed products and the preserving of nuclearity. 2)As regards the property of crossed product, given the assumption on the minimality of global action, we will study the minimality of partial action and the sufficient and necessary condition for the simplicity of partial crossed product.

本项目主要研究C*-代数上离散群的作用及其交叉积。具体研究内容包括：1）在C*-代数上的群作用方面，基于群上C*-代数值的正定映射，我们拟提出群作用顺从性的一种新定义，并将其推广到群的局部作用。研究新定义与已有定义的关系，重点考察新定义在通用交叉积与约化交叉积是否*-同构以及核性的保持等问题中的表现。2）在交叉积的性质方面，我们将在全局作用极小的前提下，研究局部作用的极小性以及局部交叉积单性的充要条件。

本项目主要在算子代数与算子理论两个方面开展研究工作。主要研究内容及成果如下：1.提出了群作用与被作用的C*-代数的逼近性质相容的概念。在此概念的基础之上，修正了已有的关于离散群作用的Haagerup性质以及交叉积保持Haagerup性质等结论中的错误。2.将广义无理旋转代数单性的刻画推广到了Putnam代数上，给出了单元圆环T上整数集Z的局部作用产生的局部交叉积单性的充要条件。这是对于局部交叉积单性研究的进展。3.证明了经典的Hardy空间H^2中存在一组标准正交基，使得任意可逆的、解析的Toeplitz算子都可以通过这组基下可逆的下三角算子构成的范数连续的路径连通到单位元。这一成果推广了Pitts等人九十年代关于套代数上连通问题的结论。4.构造了单的、单位AF代数上群Z_2的两个作用，它们在迹Rokhlin性质方面表现不同，但它们的交叉积代数具有很多共同的性质。这部分回答了Blackadar所提的著名问题，并为一般的AF代数上Z_2作用的分类提供了一些新的思路。5.对于C*-代数的K_0群上的2阶成比例有序自同构，证明存在C*-代数的2阶自同构能够诱导出这一K_0群上的2阶自同构，这就在一定条件下给出了Blackdar提升问题的部分肯定回答。6.给出了算子相对于酉不变范数在多项式下等距的概念，考察了在何种程度上算子在多项式下等距于正规算子能够推出其本身也是个正规算子。