可压和不可压Navier-Stokes方程的一些问题

在本项目中,我们将研究在地球物理学中有重要意义的几类方程。对于描述不可压缩流体运动的方程组，如不可压缩（各向异性）Navier-Stokes方程组和Navier-Stokes-Corilis方程组，我们将利用调和分析工具，Fourier分析技巧和偏微分方程的色散理论，研究其整体（局部）适定性问题，探讨方程的非线性结构、初值正则性以及解的衰减性与整体存在性之间的深层联系，分析解的长时间性态和解的破裂等。对于描述可压缩流体运动的方程组，如浅水波方程和粘性依赖于密度的高维可压缩NS方程，我将研究真空对解正则性的影响，细致研究真空与流体界面的发展，解的大时间性态，多种流体相互影响以及表面张力对流体运动的影响等。本课题的研究，是地球物理学的偏微分方程理论研究的前沿课题，属源创性工作，可望获得创新性的研究成果，进一步推动了偏微分方程分析学科的发展，对海洋洋流和大气运动等方面的研究提供重要的理论依据。

本项目按计划顺利完成，发表SCI论文23 篇。我们研究了有重要意义的几类方程，如不可压缩（ 各向异性） Navier-Stokes 方程组和Navier-Stokes-Corilis 方程组，粘性依赖于密度的高维可压缩NS 方程等。应用几何与现代分析技术、随机分析方法等来研究了方程组的适定性问题；探讨了方程的非线性程度、初值正则性和解的衰减性对解存在性的深层影响。通过概率化初值方法证明了不可压缩NS 方程组关于一大类L^2 初值是局部适定的；得到了第二粘性系数依赖于密度的高维NS 方程组关于小能量初值的整体解存在性和长时间性态、真空发展的估计、奇性发展分析，并研究了相应的气固两相粘性流体运动方程组；研究了粘性依赖于密度的柱面对称可压缩NS 方程组的边界层问题；Navier-Stokes-Corilis 方程组在临界空间中适定性问题等。