非自治微分方程在非一致二分性下的容许性

The study of admissibility of nonautonomous differential equation under nonuniform dichotomy is always an active topic in the area of differential equations and dynamical systems. By using the functional analysis, operator theory and the theory of differential equations and dynamical systems, we will consider not only admissibilities of continuous dynamical system in infinite dimensional case, but also the admissibility under nonuniform behaviors for the systems defined by difference equations. We will characterize the nonuniform dichotomy in term of appropriate discrete Schaffer spaces. Further, we will construct the nonuniform dichotomy spectrum for differential equation with nonuniform hyperbolicity, which can be used to diagonalizate and normalize the nonautonomous differential equation. Our goal is to initially form a research way and system with some charactersistics.

研究非自治微分方程在非一致二分性下的容许性一直是微分方程和动力系统领域中一个比较活跃的研究方向。本项目旨在综合运用泛函分析,算子理论，以及微分方程和动力系统的多个分支，来较为系统地研究非自治微分方程在非一致二分性下的容许性，包括连续动力系统在各种无穷维空间对上的容许性结果，以及离散动力系统的非一致二分性与容许性的关系，用适当的离散Schaffer 空间对来描述非一致二分法，并进一步建立非一致二分谱理论，研究其性质和结构，用谱理论来分块对角化和标准化非自治微分方程，从而形成一套有一定特色的研究思路和体系。

研究非自治微分方程在非一致行为下的容许性一直是微分方程和动力系统领域中一个比较活跃的研究方向。本项目旨在综合运用涉及微分方程和动力系统的多个分支，来较为系统地研究非自治微分方程在非一致二分性或者三分性下的容许性和鲁棒性。主要内容和重要结果如下：.(1) 我们考虑了一个具有稳定流形，不稳定流形和中心流形这三种丰富的动力行为的非自治线性系统在具有更一般的非一致三分性行为下的容许性，我们用严格的Lyapunov函数完整的刻画了非一致三分法的特性。同时，对三分性，我们也给出了具体的Lyapunov函数。.(2) 我们通过新定义的\mu-Lyapunov指数刻画了具有非一致行为的离散和连续动力系统的Perron型定理，即如果线性方程的Lyapunov指数是有限个，则对充分小的扰动，对应的非线性方程的Lyapunov指数依旧保持。.(3) 我们研究了线性随机方程在均方意义下的指数二分法的鲁棒性。并考虑一个具有大作用力的随机波动方程的空间齐性，同时，我们还研究了非线性偏微分方程中的相关问题。.这些工作都进一步探讨了更一般的非一致行为下的动力行为， 因为一致与非一致部分具有不同的增长率，所以研究起来非常困难，但很有意义，所得到的结果都是对非一致双曲理论的有益的补充。