两类两个分支的Camassa-Holm系统的弱解问题

In this project, we consider the existence and the uniqueness of global weak solutions to two classes of two-component Camassa-Holm systems. We mainly discuss the Cauchy problem of these two systems. The content includes two parts. Firstly, we investigate the existence of weak solutions to these two systems provided the initial values have different end states. Secondly, we study the uniqueness of the weak solutions to these two classes systems.

本项目对两个分支的Camassa-Holm系统（2-CH）以及修正的两个分支的Camassa-Holm系统（M2CH）的弱解问题进行研究。主要研究这两类系统的初值问题的整体弱解的存在性和唯一性。其内容分为两部分:第一: 研究初始速度和初始密度在空间的无穷远处趋于不同的数值时弱解的存在性; 第二: 研究弱解的唯一性.

因为水对我们的重要性，使得浅水波方程一直很受物理学家和数学家的关注, 所谓的浅水波是指水在垂直方向的波动不是很大，因此可以假设水的运动是水平方向的小振幅运动，而且水波的波长相对于水波的振幅是一个巨大量。例如，海啸波的波长一般为几百到几千公里，和只有几十米的海啸波的振幅相比就是一个巨大量，因此海啸的传播也可以用浅水波方程来描述，所以研究浅水波方程在一定程度上也可以预报海啸从而减少损失。2000年，Clay研究所公布七个21世纪的“百万问题”，描述流体运动的著名方程Navier-Stokes方程就列其中。由于描述浅水运动的方程是Euler方程的极限逼近和近似，因此，对浅水波问题的研究就具有很重要的理论意义。而浅水波方程的双分量推广模型中加入了新的密度变量, 它满足一个连续性方程, 这更符合自然规律更具有物理意义, 因此水波方程的双分量推广系统引起了许多学者的兴趣。. 本项目主要研究两个分支的浅水波系统的弱解问题，考察了当初值在无穷远处趋于不同数值时弱解的存在性。我们得到了当初值在无穷远处趋于不同数值时两个分支Camassa-Holm系统以及修正的两个分支Camassa-Holm系统弱解的存在性；我们也研究了弱耗散D-P方程弱解的存在性；近期，用 Littlewood-Paley 理论，我们研究了一类双分支浅水波系统在Besov空间中强解的局部适定性、爆破以及解的持久性。