图中的距离及相关问题

The distance in a graph is an important parameter, which has much significant applications in extremal graph theory, chemical graph theory and network theory. Distance-based invariants of graphs， including mean distance, Harary index and weighted Harary indices and so on, are a class of significant parameters which have been extensively studied in chemical graph theory. Resistance distance is a generalization of classic distance. The resistance-distance-based invariants (Kirchhoff index and its variants) are closely related to the (normalized) Laplacian spectra of graphs. The eccentricity of a vertex in a graph is a special distance. Eccentricity-based special graphs such as ASC graph, AP graph and the related minimum ASC- and AP- embedding constructions of graphs have some important applications in network theory. In this project we will study the extremal graph problems with given condition with respect to some distance-based variants, and explore, via the Laplacian spectra of graphs, the extremal properties of resistance-distance-based invariants and the numerical relation among them. Moreover, we will characterize the inverse problem with respect to distance-based invariants, by using the distance matrix of graphs, with the method for dealing with distance spectrum determined problem, and make a further study on the minimum eccentricity-based ASC- and AP- embedding constructions of graphs.

图中的距离是图的一个重要的基本参数，在极值图论、化学图论、网络理论中有着非常重要的应用。图的基于距离的不变量是化学图论中的一类广泛研究的重要参数，包括平均距离、Harary指标、加权Harary指标等。电阻距离是图的经典距离的推广，图的基于电阻距离的不变量（Kirchhoff指标及其变形）与图的（规范）拉普拉斯谱有密切的联系。图中顶点的离心率是一种特殊的距离，基于离心率的特殊图，例如ASC图与AP图，以及图的最小ASC及AP嵌入构造在网络理论中具有重要的应用。本项目中，我们将研究特定条件下关于距离不变量的极图问题，利用图的(规范）拉普拉斯谱研究图的基于电阻距离的不变量的极值性质及它们之间的数量关系，还将利用图的距离矩阵，以距离谱确定的方法，刻画关于距离不变量的逆问题，并对某些图的基于离心率的最小ASC及AP嵌入构造问题做一些深入探讨。

图中的距离是图的一个重要的基本参数，在极值图论、化学图论、网络理论中有着非常重要的应用。图的基于距离的不变量是化学图论中的一类广泛研究的重要参数，我们研究了图的基于距离的不变量的数学特性，包括极值性质，刻画了图的基于距离的不同不变量之间的内在联系，并引入了一类新的距离不变量--离心复杂性，并研究了它的数学性质。图中顶点的离心率是一种特殊的距离，基于离心率的特殊图（ASC图及AP图）在网络理论中具有重要的应用。我们刻画了某些一般图的最小ASC嵌入及最小AP嵌入问题。另外，我们还研究了图的局部结构，确定了图的基于顶点度的结构参数的若干数学性质，并研究了图的控制博弈问题，包括关于图的博弈控制数的极值性质，并研究了博弈控制稳定图及控制博弈边临界图的若干数学性质。