组合结构中模式避免与统计量的研究

Pattern avoidance and statistics for combinatorial objects is one of the most active research area in enumerative combinatorics. This project will deal with the pattern avoidance and statistics on combinatorial objects by applying the methods of combinatorial analysis and bijections, and obtain some creative and important results. (1) We will study the refinements of Wilf-equivalence with respect to several classical permutation statistics and get the q-analogues of some combinatorial sequences. (2) We will deal with the distribution of neighbor patterns in matchings and set partitions as well as related combinatorial objects including posets， and try to obtain the generalization of Catalan pairs with the aim of giving a common language to certain combinatorial objects including interval orders. (3)We will study the distribution of certain statistics on lattice paths, and deal with q, t-symmetry of rational q,t-Catalan polynomials and the combinatorial interpretations of the q-analogues of rational (a,b)-Catalan numbers. (4) We will study the distributions of certain statistics on ordered set partitions, and aim to obtain the extension of Euler–Mahonian satatistics to ordered set partitions.

组合结构中的模式避免与统计量是组合数学中重要的研究对象，引起了组合界的广泛的重视与关注，成为了组合数学前沿和热门课题之一。 本项目旨在应用组合分析、组合双射等方法为基本工具研究组合结构中的模式避免与统计量及相关问题，得到一些创新性的重要结果。（1）研究排列模式的Wilf-等价的加强形式及相关组合序列的q-模拟形式；（2）研究匹配与集合分拆中相邻模式的分布及偏序集等相关组合结构，探讨Catalan组的推广形式，力图构造表示区间序偏序集等组合结构的统一文法；(3)研究格路中统计量的分布，重点研究有理(a,b)-Dyck路中相关统计量的分布问题, 探讨有理(a,b)-Catalan多项式的对称性以及有理(a,b)-Catalan数q-模拟的组合解释；（4）研究有序集合分拆中统计量的分布问题，探讨Euler–Mahonian统计量在有序集合分拆中的推广。

组合结构中的模式避免与统计量是组合数学中重要的研究对象，引起了组合界的广泛的重视与关注，成为了组合数学前沿和热门课题之一。在项目执行期间我们应用组合分析、组合双射等方法为基本工具研究组合结构中的模式避免与统计量及相关问题，取得了一些积极的进展。在组合结构的模式避免方面, 我们研究了避免特定模式的逆序列与Baxter数所计数的组合对象之间的联系，建立了其与分拆图之间的组合映射, 从而证明了Martinez与Savage提出的公开问题; 研究了避免某些特定模式的上升序列与逆序列, 对避免Vincular模式的逆序列开展了系统的研究，建立了它们与3-不交的集合分拆等重要组合结构之间的联系；确定了每个部分各不相同的（2k+1， 2k+3）-核分拆的计数与最大值，从而解决了Straub提出的关于该方面的猜想；构造了自共轭的(s,s+1, ..., s+k)-核分拆与对称广义(s,k)-Dyck路之间的双射，从而将Amdeberhan与Leven的结果扩展到了自共轭分拆上。在组合结构的统计量研究方面， 我们通过上升序列的一个新的分解方式给出了统计量length，zero，max，rep，asc的联合分布的生成函数的精确表达式，从而给出了关于上升序列以及(2+2)-free偏序集上面统计量已有研究成果的统一证明; 研究了Fishburn矩阵与避免特定模式的排列中四类统计量, 通过构造组合映射的方法证明了Fishburn矩阵与避免特定模式的排列四类统计量的同分布，从而解决了Jelínek关于该方面的猜想；对一般与对称的tree-like 杨表中的统计量Corner开展了相关的研究，得到了该统计量在tree-like 杨表中分布的多项式的推广； 利用Tutte多项式研究了分层树中相关统计量的不变性， 从而回答了Dugan等人提出的公开问题。