图的广义森林体系及其应用推广研究

In this proposal, we study forest systems. A forest system in a graph is a family of subgraphs that are forests. Forest systems can be restricted by imposing a maximum degree bound on some forests (for example, we may require a forest to be a matching), and forests in graphs can be generalized to independent sets in matroids. In this context we consider the famous and long-standing conjecture of Goldberg and Seymour, which states that the edge-chromatic number of a multigraph is bounded above by a parameter measuring maximum density of subgraphs (when it exceeds the maximum degree)...To use forest systems in graphs in the study of the Goldberg-Seymour Conjecture, the applicant and Professor Xuding Zhu have proposed a weaker conjecture called the "Weak Goldberg-Seymour Conjecture" on the edge-chromatic number of multigraphs. This new conjecture relates the edge chromatic number of a multigraph G to the fractional arboricity γ(G) of G, which is another measure of density. Through the use of γ(G), the "Weak Goldberg-Seymour Conjecture" is brought into the context of forest systems...We propose approaches to our conjecture via a series of new and concrete conjectures about forests in multigraphs, and these newly proposed conjectures also have their own motivation. Since the "Weak Goldberg-Seymour Conjecture" is analogous to the Goldberg-Seymour Conjecture and the "Nine Dragon Tree Conjecture" about decomposition of multigraphs into families of forests under density conditions, we plan to attack our conjecture by combining the methods that have been developed during tens of years of study of the Goldberg-Seymour Conjecture with new methods developed by the applicant and his teammates for the solution of the Nine Dragon Tree Conjecture. In this way, the results can also improve our understanding of the Goldberg-Seymour Conjecture. We also propose to generalize the Nine Dragon Tree Theorem to matroids, particularly for the case when a graph decomposes into k forests and a matching.

本申请项目拟对图的广义森林体系进行应用及推广研究。图的Goldberg-Seymour边色数猜想受到广大图论研究学者的关注和重视，为了借助图的森林体系研究该猜想，申请人和朱绪鼎教授提出了图的“Weak Goldberg-Seymour猜想”。该新猜想将图G的边色数与其分数荫度参数γ(G)建立了联系；通过γ(G)作为纽带，该新猜想完美地嵌入到了图的广义森林体系中。借助于图的广义森林体系的指引和帮助，我们提出了一系列具体的新猜想；这些新猜想即作为我们设计的解决图的“Weak Goldberg-Seymour猜想”的研究方法和技术路径，同时他们本身也都有其独立的存在意义和研究价值。我们希望能结合应用对Goldberg-Seymour猜想的长期研究形成的技术方法，以及申请人等在对“九龙树猜想”工作过程中的技术积累和研究突破，来研究我们提出的系列猜想。我们还拟对图的广义森林体系进行向拟阵的推广研究。

图的广义森林体系是在对图论、拟阵的长期的研究、发展过程中，由很多学者的智慧和辛勤工作建立起来的。图的广义森林体系能为许多图论研究工作提供很多支持与帮助。本项目拟对图的广义森林体系的进一步拓展与推广进行研究。项目承担者对项目课题，做了认真研究。在项目进行期间，取得了良好的工作进展和一系列科研成果。在项目进行的四年时间里，本项目负责人在项目进行期间正式发表6篇SCI期刊论文（均为通讯作者）。在本项目支持、资助下，我们在项目进行期间正式发表的、标注本项目资助的、SCI期刊论文已经有19篇。还有更多的由本项目资助的论文已经投稿SCI期刊，或处于组织整理、投稿阶段。本项目负责人杨大庆教授在项目进行期间，发现了一些新的研究思路和研究课题，以此为基础，杨大庆教授于2022年获得国家自然科学基金面上项目一项。.我们在“对图的广义森林体系的进一步拓展与推广进行研究”的研究过程中，在有向图的有向森林的分解与存在性方面的研究上，取得了一些很好的进展，我们在这个研究方向上面，已经在项目进行期间正式发表了4篇SCI期刊论文。其中包括:推广了Edmonds关于有向图上面有k棵弧不交支撑有向树的刻画的著名结论，给出了一系列关于k棵弧不交支撑有向树存在性的新结果或新证明。推广了Nash-Williams和Tutte关于无向图中边无交支撑树的定理，也推广了Cai和Frank关于有向图中弧不交支撑有向树的刻画。我们也将无向图上广受关注和研究的“九龙树猜想”在有向图上进行研究，提出了有向图上的“九龙树猜想”，并证明了有向图上的“九龙树猜想”在某些图类上的正确性。这些工作由本项目负责人和他所指导的博士研究生高晖共同完成。我们对Edmonds关于拟阵独立集分解和存在性的经典结论进行了类似“九龙树定理”结论的推广研究。本项目在对“九龙树定理”进行的推广研究方面，在对“强九龙树猜想”的研究上，我们经过了四年的艰苦工作，取得了极为难得的突破性研究成果。我们证明了“强九龙树猜想”的近似上界是存在的。现在写出的论文手稿有50页，无论是在研究结果和证明技术、研究方法上面，都有突破。该工作由本项目负责人和他所指导的硕士研究生张雅琴共同完成。目前该论文正处在最后的整理、定稿阶段。本项目负责人杨大庆教授将于2023.2.18—22日召开的“中国数学会2022年学术年会”报告这一最新的研究成果。我们还进行了一些其他科学研究。