基于冗余字典的稀疏相位恢复问题研究

Phase retrieval is aim to recover the unmeasurable phase from the measurable magnitude/tensity. Currently, a basic assumption of sparse phase retrieval is the signal is (near) sparse under a orthogonal basis, which neglects most signals in the real word are only (near) sparse under redundancy dictionaries. This project will begin with the relation between the injectivity and the null space of the measurement matrix, analysis the characteristics of the inter-set of the null space of the measurement matrix and the linear space spanned by the redundancy dictionaries, study the theory of sparse phase retrieval based on redundancy dictionary. Additionally, with the help of the support estimation based on the traditional orthogonal matching pursuit, we will design a fast iterative algorithm for sparse phase retrieval, which is suitable for the large scale problem.

相位恢复是一种由可测量的振幅或强度信息来确定不可测量的相位分布的理论和技术。当前，稀疏相位恢复研究的基本假设是：信号在一组正交基下是（近似）稀疏的，忽略了现实应用中的大部分信号在过完备字典下才是稀疏或近似稀疏的。本项目拟以映射的单射性与观测矩阵的零空间特征之间的关系为基础，分析观测矩阵的零空间和过完备字典张成的线性空间的交集特征，研究过完备字典下的稀疏相位恢复理论；另一方面，借助经典的直交匹配原理估计信号的支集位置，设计基于直交匹配追踪的稀疏相位恢复快速迭代算法，该算法可适用于大规模数据问题。

本项目主要针对冗余字典下的稀疏相位恢复问题的理论、算法与应用进行了研究。首先，我们提出了较为直观的L_1合成模型，给出了冗余字典下稀疏相位恢复问题解唯一性的充要条件；利用对偶框架理论，证明了L_1合成模型与基于L_1分析的最优对偶模型是等价的，并用强约束等距性质，从理论上证明了L_1合成模型解的稳定性。算法方面，我们设计出了基于分裂Bregmann迭代的稀疏相位恢复算法，数值试验表明：该算法具有计算时间短、收敛快等特点。其次，针对复信号的一般共轭相位恢复，我们解决了低维空间下，共轭相位恢复的最小观测数目问题。特别地，我们构造了一个包含9个向量的向量组，它在4维复空间是具有共轭相位恢复性质的，这一结果表明：4n-6的上界不是最优的。最后，我们将压缩感知中的直交匹配追踪算法与典型相关分析相结合，提出基于贪婪算法的典型相关分析算法，并成功地将其应用于跨语言文本检索中。