线性约束矩阵最小二乘问题的解及稳定性研究

In the mathematics and engineering technology, many problems can be reduced to least squares problem with linear constraints on solutions.In terms of some special matrix-factorizations and iterative methods, some given questions have been solved. However, the produce factorization applied on matrix least squares problem requires proficient skill, depending on the system of matrix equations and the constraints on solutions themselves. It is difficult to directly apply a consistent factorization produce on those related but different problems. In this project, we will present a frame work in both theory and algorithms. Firstly, by suitable mapping on the right hand side matrix, the constrained least squares problem is equivalent to a new one, whose solutions can be constructed by solutions set of the least squares problem with more broad constraints. Secondly, we consider the stability of the solutions. Finally, we develope a unified iteration methods by the basis of the constrianed space. The ideas and theories in this project are adaptive for general constained least squares problem, which give a heuristic model to least squares problem.

在数学和工程计算中，许多问题可以转化成带各种线性约束的矩阵最小二乘问题。借助于特殊的矩阵分解和迭代法，一些带指定约束的特定问题已经解决。但是这种对特殊问题采取的特定方法，依赖于方程本身和约束条件，很难直接应用于一系列相关而又不同的问题，可移植性不是很好。本项目试图在理论和算法上给出框架式的研究方法。我们首先通过构造最小二乘右端矩阵的合适映射，将它转化成一个新的最小二乘问题，该问题和原问题等价，且解可以从与之相关的带更大范围约束的最小二乘问题的解集中重构出来。其次，借助于该方法，我们也考虑了解的稳定性。最后，我们通过约束空间的基将各种迭代纳入统一的构造格式。本项目所体现的算法思想和理论对处理线性约束矩阵最小二乘及相关问题具有一定的启发性和指导意义，为一般的约束矩阵最小二乘问题的求解和稳定性分析提供了一种新的解决模式。

在工程和科学计算中，许多问题可以转化或者归结为一个带线性约束的最小二乘问题，如何将其合理的表示并有效的求解引起了众多学者的关注。本项目属于基础性研究，致力于一般线性约束矩阵最小二乘问题的求解，主要内容包含通解构造、数值求解及其稳定性分析上。在通解的构造上，我们通过合理地改变右端矩阵的取值（右端矩阵的一类映射）使得约束矩阵最小二乘的解容易构造，并在给出右端矩阵映射形式表示的同时也给出它的数值近似，并藉此得到各种不同的数值算法，同时也考虑它的稳定性分析，该想法在部分带特殊约束的特定最小二乘问题已经实现。与以往借助各种特殊分解构造通解的方法相比，我们的方法比较新颖，有针对性，且更有普遍性。而对于矩阵最小二乘问题的迭代解，我们希望将现有的几种常用方法（例如CGLS，LSQR,HSS,GMRES）纳入一个统一的求解格式，并且给出其他一些适用的迭代法的构造，该想法已经实现。我们相信本项目所体现的算法思想和理论分析对处理线性约束矩阵最小二乘及相关问题具有一定的启发性和指导意义，为一般的约束矩阵最小二乘问题的解和稳定性分析提供了一种新的解决模式。从项目立项至今，严格的按照申请书研究计划进行研究。本项目的主要研究成果是论文，共发表论文12篇，包含8篇SCI, 2篇EI，1篇一级。受本项目的资助，项目负责人及其成员也开始在相关学科的若干方向进行研究，主要包含稀疏矩阵的迭代算法，大数据处理，以及如何将迭代法融入到计算机辅助几何设计及其数理统计中的破产概率等问题。在研究过程中，项目组成员，互相帮助，协同发展，体现了较好的团队精神。